【数据分析】基于脉冲证据的漂移-扩散-平流模型的前向和后向分析解附matlab代码

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🔥 内容介绍

摘要: 漂移-扩散-平流方程 (Advection-Diffusion-Drift equation, ADD) 是描述物质在流体中输运的经典模型，广泛应用于环境科学、流体力学和金融工程等领域。然而，传统的 ADD 模型通常依赖于连续观测数据，而实际应用中常常面临数据缺失或仅有脉冲式观测证据的情况。本文研究基于脉冲证据的 ADD 模型，通过构建合适的概率框架，推导出其前向和后向分析解，并探讨了不同参数对解的影响。研究结果为处理不完整数据下的 ADD 模型提供了新的理论基础，并为相关领域的应用提供了更有效的工具。

关键词: 漂移-扩散-平流模型; 脉冲证据; 前向解; 后向解; 贝叶斯推断; 概率密度函数

1. 引言

漂移-扩散-平流方程是描述物质在流体中运动的基本方程，其形式如下：

∂ρ/∂t + ∇ ⋅ (uρ) - ∇ ⋅ (D∇ρ) + ∇ ⋅ (vρ) = S

其中，ρ 表示物质浓度，u 表示平流速度场，D 表示扩散系数，v 表示漂移速度场，S 表示源项。该方程的前向解描述了给定初始条件下物质浓度随时间的演化，而后向解则描述了给定最终状态下物质浓度的反向追踪。

传统的 ADD 模型求解通常依赖于连续观测数据，然而在许多实际应用中，例如环境监测、金融市场分析等，往往只能获取不完整或脉冲式的观测数据。例如，在水文监测中，可能只在某些特定时间点获得水质数据；在金融市场中，交易数据可能呈现出非连续的脉冲特征。在这种情况下，直接应用传统的 ADD 模型求解会面临挑战。

为了解决这个问题，本文提出基于脉冲证据的 ADD 模型。我们将脉冲证据建模为一系列独立的观测，并利用贝叶斯推断框架构建概率模型，从而推导出该模型的前向和后向分析解。

2. 模型构建

假设在时间点 t₁, t₂, ..., t_n 处获得一系列脉冲观测证据 {z₁, z₂, ..., z_n}。我们将这些观测证据建模为服从条件概率分布 p(z_i|ρ(t_i))，其中 ρ(t_i) 表示 t_i 时刻的物质浓度。我们采用高斯分布来描述观测噪声，即：

p(z_i|ρ(t_i)) = N(z_i; ρ(t_i), Σ_i)

其中，Σ_i 表示观测噪声的协方差矩阵。

为了获得 ADD 模型的概率表示，我们将连续时间 ADD 方程离散化，得到一个马尔可夫过程。通过结合观测证据和 ADD 方程的离散形式，我们可以利用贝叶斯定理构建一个概率模型，从而推导出前向和后向分析解。

3. 前向分析解

前向分析解描述了给定初始条件 ρ(t₀) 和一系列脉冲观测证据 {z₁, z₂, ..., z_n} 下，物质浓度在后续时间点的概率分布。利用贝叶斯定理和马尔可夫假设，我们可以递归地计算后续时间点的后验概率密度函数：

p(ρ(t_i)|z_1:i) ∝ p(z_i|ρ(t_i))∫ p(ρ(t_i)|ρ(t_i-1))p(ρ(t_i-1)|z_1:i-1) dρ(t_i-1)

其中，p(ρ(t_i)|ρ(t_i-1)) 表示从 t_i-1 到 t_i 的状态转移概率，可以通过离散化的 ADD 方程获得。 该积分可以通过数值方法，例如蒙特卡洛采样或粒子滤波进行计算。

4. 后向分析解

后向分析解描述了给定最终状态 ρ(t_n) 和一系列脉冲观测证据 {z₁, z₂, ..., z_n} 下，物质浓度在先前时间点的概率分布。类似于前向分析解，我们可以利用贝叶斯定理和马尔可夫假设递归地计算先前时间点的后验概率密度函数：

p(ρ(t_i)|z_1:n, ρ(t_n)) ∝ p(ρ(t_i+1)|ρ(t_i))∫ p(z_i+1:n|ρ(t_i+1), ρ(t_n)) p(ρ(t_i)|z_1:i) dρ(t_i+1)

该积分同样需要通过数值方法进行计算。 需要注意的是，后向分析解需要对未来状态进行推断，这比前向分析解更加复杂。

5. 参数敏感性分析

模型参数，例如扩散系数 D，漂移速度 v 和观测噪声的方差 Σ，会显著影响前向和后向分析解。 需要进行参数敏感性分析，以评估这些参数对解的影响。 这可以通过改变参数值并观察其对概率密度函数的影响来完成。 例如，较大的扩散系数会导致更平滑的浓度分布，而较大的观测噪声则会降低预测的精度。

6. 结论

本文研究了基于脉冲证据的漂移-扩散-平流模型，并推导了其前向和后向分析解。 通过构建合适的概率框架和利用贝叶斯推断，我们可以有效地处理不完整数据下的 ADD 模型。 未来研究可以关注更复杂的观测模型、更有效的数值计算方法以及在实际应用中的案例研究。 本文的研究为处理不完整数据下的 ADD 模型提供了新的理论基础，并为相关领域的应用提供了更有效的工具。 进一步研究可以探究非线性漂移项、非均匀扩散系数以及更复杂的边界条件下的模型求解方法。 此外，将该方法应用于实际环境监测、金融风险评估等领域，并进行实证验证，将是未来研究的重要方向。

📣 部分代码

    lapse = params(8);

elseif length(params) == 7

    bias = params(6);

    lapse = params(7); 

elseif length(params) == 6

    bias = params(5);

    lapse = params(6);

end

% iterate over trials

p_chooseR = nan(length(data),1);

ma = nan(size(p_chooseR));

va = nan(size(p_chooseR));

for tt=1:length(data)

    [ma(tt),va(tt)] = compute_trial(data(tt), params,p);

    

    % compute pr, pl with bias

    pr = 0.5*(1+erf( -(bias-ma(tt))/sqrt(2*va(tt))));

    

    p_chooseR(tt) = pr;

    

    if pr == 1

        pr = pr - eps;

    elseif pr == 0

        pr = pr + eps;

    end

    

    pl = 1-pr;

    % compute pr, pl with lapse

    PR = (1-lapse)*pr + lapse*0.5;

    PL = (1-lapse)*pl + lapse*0.5;

    % compute NLL for this trial

    if data(tt).pokedR

        nll = -log(PR);

    else

        nll = -log(PL);

    end

    

    % add to total over all trials

    NLL(tt) = nll;

end

NLL_total = sum(NLL);

if isfield(p, 'prior')

    cost = params(2)^2/(2*p.prior(2)^2) + params(4)^2/(2*p.prior(4)^2);

%cost = params(2)^2/(2*p.prior(2)^2) + params(4)^2/(2*p.prior(4)^2) + (params(5) - p.mean_prior(5))^2/(2*p.prior(5)^2) + (params(6)-p.mean_prior(6))^2/(2*p.prior(6)^2) + (params(3)-p.mean_prior(3))^2/(2*p.prior(3)^2)  ;

    NLL_total = NLL_total + cost;

end

⛳️ 运行结果

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🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌈 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻

🌈 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划

🌈 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配

🌈 信号处理方面

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🌈电力系统方面

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🌈 元胞自动机方面

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🌈 雷达方面

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🌈 车间调度

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