积分导数与椭圆面积计算

35、设 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是连续函数，$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是可导函数。函数 $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 定义为 $F(x) = \int_{0}^{g(x)} f(t) dt$。证明 $F$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导。$F$ 的导数 $F’(x)$ 是什么？

根据变上限积分求导法则与复合函数求导法则来证明 $F$ 可导并求其导数。

设
$$
u = g(x)
$$
则
$$
F(x) = \int_{0}^{u} f(t) \, dt
$$

由变上限积分求导定理可知，若
$$
G(u) = \int_{0}^{u} f(t) \, dt
$$
则
$$
G’(u) = f(u)
$$

又因为
$$
u = g(x)
$$
可导，根据复合函数求导法则
$$
\frac{dF}{dx} = \frac{dF}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

所以
$$
F’(x) = f(g(x)) \cdot g’(x)
$$

这表明 $F$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，其导数为
$$
F’(x) = f(g(x)) \, g’(x)
$$

36、设a, b > 0，计算由方程x² / a² + y² / b² = 1所表示的椭圆的面积。

椭圆面积计算

可使用莱布尼茨扇形公式计算该椭圆面积。

已知曲线 γ(t) = (x(t), y(t))⊤，t ∈ [0, 2π]，其中
x(t) = a cos t
y(t) = b sin t

此曲线为椭圆。根据莱布尼茨扇形公式可计算该椭圆面积。

37、证明：如果(x_p)是一阶线性常微分方程的一个特解，(L_h)是相应齐次常微分方程的解集，那么(L = x_p + L_h)是原常微分方程的解集。

首先，设原一阶线性常微分方程为
$$
\dot{x}(t) + a(t)x(t) = s(t)
$$
其对应的齐次方程为
$$
\dot{x}(t) + a(t)x(t) = 0
$$

已知 $ x_p $ 是原非齐次方程的特解，即
$$
\dot{x}_p + a(t)x_p = s(t)
$$

对于任意 $ x_h \in L_h $，$ x_h $ 满足齐次方程，即
$$
\dot{x}_h + a(t)x_h = 0
$$

现在考虑 $ x = x_p + x_h $，对其求导得
$$
\dot{x} = \dot{x}_p + \dot{x}_h
$$

将 $ x $ 和 $ \dot{x} $ 代入原非齐次方程左边可得：
$$
\begin{aligned}
\dot{x} + a(t)x &= (\dot{x}_p + \dot{x}_h) + a(t)(x_p + x_h) \
&= (\dot{x}_p + a(t)x_p) + (\dot{x}_h + a(t)x_h)
\end{aligned}
$$

因为
$$
\dot{x}_p + a(t)x_p = s(t)
$$
$$
\dot{x}_h + a(t)x_h = 0
$$

所以
$$
\dot{x} + a(t)x = s(t)
$$

这表明 $ x = x_p + x_h $ 是原非齐次方程的解，所以
$$
x_p + L_h \subseteq L
$$

反之，设 $ x $ 是原非齐次方程的任意一个解，令
$$
x_h = x - x_p
$$
则
$$
\dot{x}_h = \dot{x} - \dot{x}_p
$$

将 $ x_h $ 和 $ \dot{x}_h $ 代入齐次方程左边可得：
$$
\begin{aligned}
\dot{x}_h + a(t)x_h &= (\dot{x} - \dot{x}_p) + a(t)(x - x_p) \
&= (\dot{x} + a(t)x) - (\dot{x}_p + a(t)x_p)
\end{aligned}
$$

由于 $ x $ 是原非齐次方程的解，
$$
\dot{x} + a(t)x = s(t)
$$
且 $ x_p $ 是特解，
$$
\dot{x}_p + a(t)x_p = s(t)
$$

所以
$$
\dot{x}_h + a(t)x_h = 0
$$

即 $ x_h \in L_h $，那么
$$
x = x_p + x_h
$$

这表明
$$
L \subseteq x_p + L_h
$$

综上，
$$
L = x_p + L_h
$$

即 $ L = x_p + L_h $ 是原常微分方程的解集。

38、确定一个连续函数 $x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对于所有 $t \in \mathbb{R}$ 满足以下方程：$x(t) + \int_{0}^{t} x(u)du = \frac{1}{2}t^{2} + 3t + 1$。(a) 首先将积分方程重写为带有初始条件的常微分方程。(b) 相关齐次常微分方程的通解 $x_h$ 是什么？(c) 为确定一个特解，使用 $x_p(t)$ 的右端类型方法，并给出 (a) 中常微分方程的通解。(d) 求出 (a) 中初值问题的解，从而得到积分方程的解。

(a) 对 $x(t) + \int_{0}^{t} x(u)du = \frac{1}{2}t^{2} + 3t + 1$ 两边求导，根据变上限积分求导法则，可得
$$
x’(t)+x(t)=t + 3
$$
当 $t = 0$ 时，
$$
x(0)+\int_{0}^{0}x(u)du=\frac{1}{2}\times0^{2}+3\t