19、数值积分与并行计算：方法、应用与代码实现

数值积分与并行计算：方法、应用与代码实现

1. 数值积分方法

在数值积分领域，不同的权重函数和多项式定义会产生不同的积分方案。例如，当权重函数为 $\rho(x) = [x/(1 - x)]^{1/2}$ 在区间 $[0, 1]$ 上时，合适的多项式 $p_n(x)$ 由切比雪夫多项式定义，即 $p_n(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} T_{2n + 1}(\sqrt{x})$。这个多项式在某一点有奇异性，在另一点有导数奇异性。此时，求积点、权重和误差分别为：
- 求积点：$x_j = \cos^2\frac{(2j - 1)\pi}{4n + 2}$
- 权重：$w_j = \frac{2\pi}{2n + 1} W_j$
- 误差：$\epsilon = \frac{\pi}{2^{4n + 1}(2n)!} f^{(2n)}(\xi)$，其中 $W_j$ 是相应的切比雪夫权重。

基于雅可比多项式的高斯求积法，涵盖切比雪夫多项式和勒让德多项式，在分配求积点时有三种不同方法：
| 方法 | 特点 |
| ---- | ---- |
| 高斯积分 | 不包含端点，求积点位置由雅可比多项式的零点确定 |
| 高斯 - 洛巴托积分 | 包含两个端点，内部求积点由雅可比多项式一阶导数的零点确定 |
| 高斯 - 拉道积分 | 仅包含一个点，内部点由带混合权重的雅可比多项式的零点确定 |

2. 多维积分

二维或三维的数值积分可通过方向分裂算法实现。以使用辛普森法则计算二维积分为例，考虑积分 $Q = \int_{X_{L1}}^{X_{R1}} \int_{X_{L2}