27、容错高性能伽罗瓦域算术处理器与等速电泳数值研究

容错高性能伽罗瓦域算术处理器与等速电泳数值研究

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1. 多项式模约简与经典乘法算法
   • 模约简目的 ：使用 $m$ 次首一多项式对 $2m - 1$ 次乘积多项式进行约简，将最终乘积的次数降低到小于或等于 $m$。这种模约简可看作是将 $D$ 中所有 $2m - 1$ 个坐标线性映射到 $C$ 的 $m$ 个坐标，其中 $D$ 是多项式的乘积，$C$ 是乘法器的输出。映射方程如下：
     [
     \begin{cases}
     r_{i,m - 1} = r_{i,m - 2}, & i = 0,1,\cdots,m - 2 \
     r_{i,j} = r_{i,j - 1} \oplus (f_j \cdot r_{i + 1,j - 1}), & i = 0,1,\cdots,m - 2; j = 0,1,\cdots,m - 2 \
     r_{m - 1,j} = 0, & j = 0
     \end{cases}
     ]
   • 经典乘法算法 ：在伽罗瓦域 $GF(2^m)$ 中，对于 $A = \sum_{i = 0}^{m - 1} a_i x^i$（$a_i \in GF(2) = {0, 1}$）和 $B = \sum_{i = 0}^{m - 1} b_i x^i$（$b_i \in GF(2) = {0, 1}$），要计算 $C \equiv A \cdot B \mod f(\alpha)$。算法步骤如下：
     1. $