71、非交换域的伽罗瓦理论：拓展与应用

非交换域的伽罗瓦理论：拓展与应用

1. 理论背景与目标

伽罗瓦理论最初由 Artin 提出，主要研究交换域 (K) 的自同构群与 (K) 的子域之间的关系。如今，我们致力于将这一理论拓展到非交换域的情形。这一拓展不仅涵盖了 E. Nœther 提出的非交换域伽罗瓦理论（涉及有限秩非交换域关于其中心的内自同构群），还包含了 Jacobson 关于非交换域的外自同构群的理论，而后者又将交换域的伽罗瓦 - Artin 理论作为特殊情况包含在内。Skolem - Nœther 理论和 Galois - Artin - Jacobson 理论成为了这一统一理论的两个极点。

2. 基本概念与符号

• 自同构 ：对于域 (K)（交换或非交换），自同构 (w) 是 (K) 到自身的双射，满足 (w(x - y) = w(x) - w(y)) 和 (w(xy) = w(x)w(y))。
• 乘法群 ：用 (K^ ) 表示 (K) 中非零元素的乘法群，对于 (K) 的子域 (L)，(L^ ) 表示 (L) 中非零元素构成的 (K^*) 的子群。
• 内自同构 ：对于 (k \in K^ )，映射 (x \to kxk^{-1}) 是 (K) 的内自同构，记为 (\sigma_k)。内自同构构成的群记为 (\Gamma)，它同构于商群 (K^ /C^*)，其中 (C) 是 (K) 的中心。

• 相关子群与子域 ：对于任意自同构群