14、代数基础：伽罗瓦域、丢番图方程与线性代数

代数基础：伽罗瓦域、丢番图方程与线性代数

1. 伽罗瓦域（Galois Field）

伽罗瓦域（GF）并非表示函数，而是指存在一个以素数 $p$ 为特征的有限域，该域有 $p^n$ 个元素。伽罗瓦域是由从 $0$ 到 $p^n - 1$ 的有限数字集，以及加法、乘法等数学运算及其逆运算构成。

1.1 有限域的存在性

你可能会疑惑，有限域如何存在？因为在有限域中进行加法和乘法运算时，结果可能超出域的范围。这就需要借助模运算来理解，就像时钟一样，当运算结果超过 12 时，会自动“绕回”。在伽罗瓦域中，任何大于 $p^n$ 的结果都会绕回。

1.2 示例：GF(3)

以 GF(3) 为例，该域只有 1、2、3 三个元素。部分加法运算如 $1 + 1 = 2$、$1 + 2 = 3$ 没有问题，但 $2 + 2 = 4$ 超出了 3，根据模运算规则，$2 + 2 = 1$（绕回 3）；同理，$2 + 3 = 2$。乘法运算也是如此，$2 × 2 = 1$（绕回 3），$2 × 3 = 0$（绕回 3）。在密码学中，会使用更大的伽罗瓦域，但原理相同。

2. 丢番图方程（Diophantine Equations）

丢番图方程是指只关注整数解的方程。线性丢番图方程是形如 $ax + by = c$ 的线性方程，其中 $a$、$b$、$c$ 均为整数。丢番图方程分为线性和指数型两种，线性丢番图方程的元素次数为 1 或 0，指数型丢番图方程至少有一项的指数大于 1。

2.1 起源与应用

“丢番图”一词源于公元 3 世纪的数学家丢番图，他研究了这类方程。传统的勾股