第二章 函数与微分 第二节 函数的求导法则

第二节 函数的求导法则

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一、函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 \quad 如果函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 都在点 $x$ 具有导数，好么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外) 都在点 $x$ 具有导数，且

$(1)[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$

$(2)[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$

$(3)[\frac{u(x)}{v(x)}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)$

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二、反函数的求导法则

定理2 \quad 如果函数 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调，可导且 $f^{\prime }(y)\ne 0,$ 那么它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在区间 I x = { x ∣ x = f ( y ) , y ∈ I y } I_x=\{x|x=f(y),y\in I_y\} Ix​={x∣x=f(y),y∈Iy​} 内也可导，且$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}或\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}}.$$ 即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

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三、复合函数的求导法则

定理3 \quad 如果 $u=g(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 可导，那么复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 可导，且其导数为$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)或\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$$

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四、基本求导法则与导数公式

1. 常数和基本初等函数的导数公式

$(01)(C{)}^{\prime }=0$,	$(02)(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}$
$(03)(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(04)(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
$(05)(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$	$(06)(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$
$(07)(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	$(08)(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$
$(09)(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1)$	$(10)(e^x{)}^{\prime }=e^x$
$(11)({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)$	$(12)(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
$(13)(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(14)(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(15)(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$	$(16)(\text{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$
$(17)(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$	$(18)(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

2. 函数的和、差、积、商的求导法则
\quad 设 $u=u(x),v=v(x)$ 都可导，则

$(1)(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$	$(2)(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }(C是常数)$
$(3)(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$	$(4)(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

3. 反函数的求导法则
\quad 设 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调、且要导 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则它的反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在区间 $I_x=f(I_y)$ 内可导，且$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(x)}或\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\frac{\text{d}x}{\text{d}y}}.$$

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4. 复合函数的求导法则

\quad 设 $y=f(u)$，而 $u=g(x)$ 且 $f(u)$ 及 $g(x)$ 都可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}或y^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x).$$

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习题 2-2