第一节 映射与函数
一、映射
单射：
x
1
≠
x
2
，
f
(
x
1
)
≠
f
(
x
2
)
x_1 ≠ x_2，f(x_1) ≠ f(x_2)
x1=x2，f(x1)=f(x2)
满射：
R
f
=
Y
R_f= Y
Rf=Y
双射：一一对应，既是单射，又是满射
逆映射：
f
−
1
，
D
f
−
1
=
R
f
，
R
f
−
1
=
X
f^{-1}，D_{f^{-1}}=R_f，R_{f^{-1}}=X
f−1，Df−1=Rf，Rf−1=X
复合映射
二、函数
数集
f
f
f：对应法则
f
(
x
)
f(x)
f(x)：函数值
函数是从实数集到实数集的映射
自然定义域：使算式有意义
函数表示方法：表格法、图形法、解析法
绝对值函数
符号函数
取整函数：阶梯曲线
分段函数
函数的几种特性
（1）有界性：上界、下界
（2）单调性：单调增、单调减
（3）奇偶性：奇函数、偶函数
（4）周期性：并非每个周期函数都有最小正周期，如狄利克雷函数。
反函数：与直接函数关于
y
=
x
y=x
y=x对称
复合函数：
(
f
∘
g
)
=
f
[
g
(
x
)
]
,
x
∈
D
g
(f\circ g)=f[g(x)],x\in D_g
(f∘g)=f[g(x)],x∈Dg
函数的运算
f
(
x
)
、
g
(
x
)
f(x)、g(x)
f(x)、g(x)定义域为
D
f
、
D
g
D_f、D_g
Df、Dg，
D
=
D
f
∩
D
g
≠
∅
D=D_f\cap D_g\neq\varnothing
D=Df∩Dg=∅,则：
和差 f ± g ： ( f ± g ) ( x ) = f ( x ) ± g ( x ) , x ∈ D ; f\pm g：(f\pm g )(x)=f(x)\pm g(x),x\in D; f±g：(f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D;
积 f ⋅ g ： ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) , x ∈ D ; f \cdot g：(f\cdot g )(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D; f⋅g：(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x),x∈D;
商 f ( x ) g ( x ) : ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ D \ { x ∣ g ( x ) = 0 , x ∈ D } . \frac{f(x)}{g(x)}:(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x\in D\backslash\{x|g(x)=0,x\in D\}. g(x)f(x):(gf)(x)=g(x)f(x),x∈D\{x∣g(x)=0,x∈D}.
初等函数
五类基本初等函数：
幂函数：
y
=
x
μ
y=x^\mu
y=xμ
指数函数：
y
=
a
x
y=a^x
y=ax
对数函数：
y
=
log
a
x
y=\log_ax
y=logax
三角函数：
y
=
sin
x
,
y
=
cos
x
,
y
=
tan
x
y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x
y=sinx,y=cosx,y=tanx
反三角函数：
y
=
arcsin
x
,
y
=
arccos
x
,
y
=
arctan
x
y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x
y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx
双曲函数
e ≈ 2.718 e\approx2.718 e≈2.718
双曲正弦 sh x = e x − e − x 2 \sh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} shx=2ex−e−x
双曲余弦 ch x = e x + e − x 2 \ch x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} chx=2ex+e−x
双曲正切 th x = sh x ch x = e x − e − x e x + e − x \th x=\frac{\sh x}{\ch x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} thx=chxshx=ex+e−xex−e−x
双曲函数的反函数
反双曲正弦
y
=
a
r
s
h
y=\mathbf{arsh}
y=arsh
x
x
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
=ln(x+x2+1)
反双曲余弦
y
=
a
r
c
h
y=\mathbf{arch}
y=arch
x
x
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
=\ln(x+\sqrt{x^2-1})
=ln(x+x2−1)
反双曲正切
y
=
a
r
t
h
y=\mathbf{arth}
y=arth
x
x
x
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
=\frac{1}{2}\ln(\frac{1+x}{1-x})
=21ln(1−x1+x)
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