第一章 函数与极限 第二节 数列的极限

第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

割圆术：
圆的内接正$6\times 2^{n-1}$边形面积记为$A_n$，边数越多($n$越大)，面积越接近圆的面积$S$，即:
$$A_1<A_2<A_3<\cdots <A_{n-1}<A_n\to S$$当$n\to \infty$时，$S$为上面一系列有序数的极限。

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数列 ： { x n } \{x_n\} {xn​}
项：数列中的每一个数
一般项（通项）：$x_n$

数列可看成函数
$x_n=f(n),n\in {\mathbf{N}}_{+}$

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数列极限的定义

设 { x n } \{x_n\} {xn​}为一数列，如果存在常数$a$, 对于任意给定的正数 $\epsilon$ (无论它多么小)，总存在正数 $N$，使得当 $n>N$ 时，不等式$$|x_n-a|<\epsilon$$都成立，那么就称常数 $a$ 是数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 的极限， 或者称数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$，记为$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$$或$$x_n\to a(n\to \infty )$$也可表达为$$\forall \epsilon >0，\exists 正整数N，当n>N时，有|x_n-a|<\epsilon$$

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二、收敛数列的性质

定理1 (极限的唯一性)——如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛，那么它的极限唯一.

定理2 (极限的有界性)——如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛，那么数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 一定有界.

定理3 (收敛数列的保号性)——如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，且 $a>0$ (或 $a<0$)，那么存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0$ (或 $x_n<0$).

推论 如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​}从某项起有 $x_n\ge 0$（或 $x_n\le 0$），且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$，那么 $a\ge 0$ (或 $a\le 0$).

定理4 (收敛数列与其子数列间的关系)——如果数列 { x n } \{x_n\} {xn​} 收敛于 $a$ ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 $a$.

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习题1-2