codeforces 997E 线段树

本文介绍了一种通过线段树和单调栈计算好区间数量的算法。好区间定义为(max-min)-(r-l)=0的区间。算法首先离线处理所有查询,并按右端点排序。接着,使用线段树维护每个左端点的好区间最小值,同时通过移动右端点更新答案。

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我除了WXH天下第一还能说什么呢……
所谓好区间,就是 (maxmin)(rl)=0 ( m a x − m i n ) − ( r − l ) = 0 的区间。
我们将所有询问离线,按照右端点从小到大排序。然后从左到右处理每一个右端点,每次处理时,线段树里维护一下对于每个左端点(这个只需要用单调栈来处理最小值和最大值的更新即可), (maxmin)(rl) ( m a x − m i n ) − ( r − l ) 的最小值,那么如果一个区间的最小值为0,最小值个数就是右端点固定,左端点取在这个区间内的时候,好区间的个数。

但是我们要维护的是一个区间内所有子区间,不仅仅是右端点是 r r 的区间。
引入一个新标记time,表示当前这个最小值个数的贡献,要添加到答案里多少次。我们每次移动右端点的时候,要先把整个线段树的time加1,表示还没移动之前的右端点造成的贡献要添加到答案里一次,这样我们就可以维护对于每个左端点,右端点小于等于当前处理的右端点时,好区间个数。那么每次更新询问的答案,只要区间查询即可。

有几个要注意的实现细节,写在代码里了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
int read() {
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
typedef long long LL;
const int N=120005;
int n,Q,top1,top2;
int a[N],mi[N<<2],js[N<<2],laz[N<<2],ti[N<<2],st1[N],st2[N];
//mi:最小值 js:最小值个数 laz:最小值的加减标记 ti:答案更新标记 ans:区间答案
LL ans[N<<2],res[N];
struct node{int l,r,id;}q[N];
int cmp(node x,node y) {return x.r<y.r;}

void addmi(int i,int num) {mi[i]+=num,laz[i]+=num;}
void addti(int i,int num) {ans[i]+=1LL*js[i]*num,ti[i]+=num;}
void pd(int i) {
    int l=i<<1,r=(i<<1)|1;
    if(laz[i]) addmi(l,laz[i]),addmi(r,laz[i]),laz[i]=0;//先下放laz,再下放ti
    if(ti[i]) {//右端点取r时,[r,r]肯定是0,所以整棵线段树的最小值是0
        if(mi[l]==mi[i]) addti(l,ti[i]);
        if(mi[r]==mi[i]) addti(r,ti[i]);
        //在做这个过程时,可能一次移动右端点更新还没有完成,又已经下放了laz,所以不能写成mi[l]==0
        ti[i]=0;
    }
}
void up(int i) {
    int l=i<<1,r=(i<<1)|1;
    mi[i]=min(mi[l],mi[r]),js[i]=0;
    if(mi[l]==mi[i]) js[i]+=js[l];
    if(mi[r]==mi[i]) js[i]+=js[r];
    ans[i]=ans[l]+ans[r];
}
void build(int s,int t,int i) {
    mi[i]=s,js[i]=1;//一开始将mi[i]=s,最小值个数的计算才是对的。
    if(s==t) return;
    int mid=(s+t)>>1;
    build(s,mid,i<<1),build(mid+1,t,(i<<1)|1);
}
void add(int l,int r,int s,int t,int i,int num) {
    if(l<=s&&t<=r) {addmi(i,num);return;}
    int mid=(s+t)>>1;pd(i);
    if(l<=mid) add(l,r,s,mid,i<<1,num);
    if(mid+1<=r) add(l,r,mid+1,t,(i<<1)|1,num);
    up(i);
}
LL query(int l,int r,int s,int t,int i) {
    if(l<=s&&t<=r) return ans[i];
    int mid=(s+t)>>1;LL re=0;pd(i);
    if(l<=mid) re=query(l,r,s,mid,i<<1);
    if(mid+1<=r) re+=query(l,r,mid+1,t,(i<<1)|1);
    return re;
}
int main()
{
    int x,y;
    n=read();
    for(RI i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    Q=read();
    for(RI i=1;i<=Q;++i) q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+1+Q,cmp);
    build(1,n,1);
    for(RI i=1,j=1;i<=n;++i) {
        addmi(1,-1);
        while(top1&&a[i]>a[st1[top1]]) {
            add(st1[top1-1]+1,st1[top1],1,n,1,a[i]-a[st1[top1]]);
            --top1;
        }
        st1[++top1]=i;
        while(top2&&a[i]<a[st2[top2]]) {
            add(st2[top2-1]+1,st2[top2],1,n,1,a[st2[top2]]-a[i]);
            --top2;
        }
        st2[++top2]=i;
        addti(1,1);//打一个time标记,把当前右端点造成的贡献下放
        while(j<=Q&&q[j].r==i) res[q[j].id]=query(q[j].l,q[j].r,1,n,1),++j;
    }
    for(RI i=1;i<=Q;++i) printf("%lld\n",res[i]);
    return 0;
}
//stone 0
<think>好的,我现在需要处理用户关于Codeforces题型总结和解题技巧的请求。首先,回顾之前的对话历史,用户之前询问了ACM学习路线,我给出了分阶段的学习计划和资源推荐。现在用户转向Codeforces的具体题型和解题技巧,这表明他们可能正在准备竞赛,需要更针对性的策略。 首先,我需要确定用户的需求。用户想要的是Codeforces平台上各类题型的分类总结以及对应的解题思路。他们可能希望了解常见的题型类别,每个类别的特点,以及解决这些题目的常用技巧和算法。此外,用户可能还希望得到一些具体的例题和代码示例,以便更好地理解和应用这些技巧。 接下来,我需要参考用户提供的引用内容。引用[1]中提到了算法基础,包括复杂度分析、递归、分治、贪心、排序、前缀和、差分、二分、三分、倍增等。这些内容在Codeforces题目中确实常见,因此需要将这些算法和技巧与具体的题型对应起来,进行分类归纳。 我需要确保回答结构清晰,分点列出各个题型类别,每个类别下包括题型特点、解题技巧、例题及解析。同时,按照用户之前的要求,使用中文回答,行内数学公式用$...$,独立公式用$$...$$,并正确使用LaTeX语法。此外,需要生成相关问题,并在适当的地方添加引用标识。 在整理题型时,要覆盖Codeforces常见的题目类型,如贪心、动态规划、图论、数论、数据结构、构造题、二分/三分、字符串处理、计算几何等。每个类别需要简要说明其特点,解题时的常用方法,并举出具体的题目例子,最好附上题目编号,方便用户查找练习。 同时,要注意结合用户之前的学习路线,推荐相关的资源,比如《算法竞赛入门经典》中的例题,或者在线平台如Codeforces本身的训练建议。此外,可能需要提到一些实战技巧,比如如何快速识别题型、如何优化代码等。 需要避免的是过于泛泛而谈,要尽量具体,给出实际可操作的技巧。例如,在贪心题中,可以提到邻项交换法或后悔法的具体应用;在动态规划中,强调状态设计和转移方程的优化方法。对于每个技巧,最好能对应一个例题,说明如何应用该技巧解决问题。 另外,考虑到用户可能需要代码示例,可以在适当的位置插入简短的代码片段,如动态规划或二分的典型实现,但需注意代码的准确性和简洁性,避免冗长。 最后,生成的相关问题需要围绕用户可能的后续疑问展开,比如如何提高刷题效率,特定题型的深入分析方法,或者推荐Codeforces上的训练计划等。这些问题应自然延伸当前主题,帮助用户进一步探索。 现在,需要检查是否覆盖了用户的所有需求,是否结构清晰,是否引用了之前的资源(如引用[^1]),并确保所有数学公式的正确格式。同时,确保回答真实可靠,基于常见的竞赛知识和经验,避免错误的信息。</think>### Codeforces题型总结与解题技巧分类指南 #### 一、高频核心题型分类 1. **贪心算法** - **题型特点**:决策序列中局部最优选择可推导全局最优解,常见于区间调度、资源分配问题 - **解题技巧**: - 邻项交换法(证明交换后更优):如$n$个数的最大拼接问题(CF 1385B) - 后悔法(优先队列维护候选集):CF 1526C(药水选择) ```cpp // 后悔法模板 priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq; for(int x : arr){ sum += x; pq.push(x); while(sum < 0){ sum -= pq.top(); pq.pop(); } } ``` - 时间轴处理:CF 1481C(栅栏涂色时序处理)[^1] 2. **动态规划** - **状态设计模式**: - 线性DP:$dp[i]$表示前$i$个元素的最优解(CF 474D 花朵问题) - 状态压缩DP:用位运算表示集合状态(CF 580D 美食家问题) - 树形DP:结合DFS遍历处理子树关系(CF 1092F 树权值分配) - **优化技巧**: - 斜率优化:维护凸包降低时间复杂度至$O(n)$(CF 319C 木材切割) - 滚动数组:空间复杂度优化至$O(1)$(CF 1114D 颜色填充) 3. **图论算法** - **高频考点**: | 算法类型 | 应用场景 | 例题 | |----------------|-----------------------------------|----------------| | 拓扑排序 | 任务调度/依赖解析 | CF 1385E | | 强连通分量 | 缩点处理环结构 | CF 427C | | 网络流 | 二分图匹配/资源分配 | CF 1139E | | 最短路变形 | 分层图/边权特殊处理 | CF 1473E | 4. **数论问题** - **核心工具**: - 欧拉定理:处理模指数运算(CF 615D 质因子乘积) - 中国剩余定理:同余方程组求解(CF 687B) - 莫比乌斯反演:统计互质对数量(CF 547C) - **特殊技巧**: $$ \sum_{d|n}\mu(d) = \begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases} $$ 用于快速计算GCD相关问题 #### 二、特征题型专项突破 1. **构造题(Constructive Algorithms)** - **识别特征**:输出满足特定条件的结构而非数值结果 - **经典解法**: - 奇偶性构造:CF 1421B(矩阵路径奇偶性) - 平衡分配法:CF 1343D(调整数组使对称元素相等) - 极端值构造:CF 1375E(通过逆序操作排序数组) 2. **交互题(Interactive Problems)** - **解题框架**: ```python low, high = 1, 1e18 while low <= high: mid = (low + high) // 2 print(f"? {mid}") response = input() if response == ">=": low = mid + 1 else: high = mid - 1 print(f"! {high}") ``` - **注意事项**: - 刷新输出缓冲区(C++用`cout << endl`) - 错误处理:CF 1520F2(二进制猜数容错机制) 3. **数据结构题** - **题型矩阵**: | 数据结构 | 适用场景 | 优化技巧 | |----------------|-------------------------------|---------------------------| | 线段树 | 区间查询/更新 | 延迟标记(lazy propagation)| | 并查集 | 连通性检测 | 路径压缩+按秩合并 | | 字典树 | 前缀匹配统计 | 二进制位处理 | | 单调队列 | 滑动窗口最值 | 淘汰非最优候选 | #### 三、实战技巧体系 1. **复杂度预判法**: - 输入规模$n$与可接受时间复杂度对应表: $$ \begin{array}{c|c} n \leq 10^6 & O(n) \\ n \leq 10^5 & O(n \log n) \\ n \leq 10^4 & O(n^2) \\ n \leq 20 & O(2^n) \\ \end{array} $$ 2. **Debug技巧**: - 边界测试:$n=0,1$等极端情况 - 对拍验证:生成随机数据与暴力程序对比 - 输出中间状态:使用`cerr`输出调试信息 3. **代码模板管理**: - 建议维护以下模板库: ```text /templates ├── graph │ ├── dijkstra.cpp │ └── tarjan_scc.cpp ├── math │ ├── matrix_fastpow.cpp │ └── fft_template.cpp └── ds ├── segment_tree.cpp └── union_find.cpp ``` #### 四、经典例题解析 1. **CF 1485D - Multiples and Power Differences** - **题型**:构造题+数论 - **关键思路**: 构造矩阵元素$a_{i,j} = 720720 + (i+j)\%2 \times (a_{i,j}^4)$ 保证相邻元素差为四次方数 2. **CF 1513C - Add One** - **解法**:动态规划预处理 定义$dp[d][m]$表示数字$d$经过$m$次操作的位数 状态转移: $$ dp[d][m] = \begin{cases} 1 & m=0 \\ dp[1][m-1] + dp[0][m-1] & d=9 \\ dp[d+1][m-1] & otherwise \end{cases} $$
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