bzoj2154/bzoj2693/洛谷P1829 Crash的数字表格 莫比乌斯反演

题目分析

首先是一些莫比乌斯反演的基本套路：
设$n<m$，首先看要求的式子：

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{gcd(i,j)}$$
套路1:优先枚举gcd
$$\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)==d]$$
套路2:$gcd(i,j)=d$等价于 $gcd(i/d,j/d)=1$
$$\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor }\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor }ij[gcd(i,j)==1]$$
套路3:莫比乌斯函数的性质
若n不为1，则$\sum_{d|n}=1$，否则原式为0.
$$\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor }\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor }ij\sum_{t|gcd(i,j)}\mu(t)$$
套路4:优先枚举$t$(同时设$sum(n)=\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$)
$$\sum_{d=1}^nd\sum_{t=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}t^2\mu(t)sum(\lfloor \frac{n}{dt} \rfloor)sum(\lfloor \frac{m}{dt} \rfloor)$$
套路5:设$dt=T$，优先枚举$sum(\lfloor \frac{n}{T} \rfloor)sum(\lfloor \frac{m}{T} \rfloor)$(因为这一块可以数论分块根号时间内求，具体方法语言讲不清，看代码吧）
$$\sum_{T=1}^nsum(\lfloor \frac{n}{T} \rfloor)sum(\lfloor \frac{m}{T} \rfloor)T\sum_{d|T}d\mu(d)$$
套路结束。
现在我们要考虑迅速搞出$T\sum_{d|T}d\mu(d)$,那么我们设$f(T)=\sum_{d|T}d\mu(d)$
这是一个积性函数，可以线性筛。考虑莫比乌斯反演的线性筛，我们为一个数$T$加入一个新的质因子$p$，如果$T$有这个质因子的话，那么对于$T$原来的约数$d$，这个数如果有质因子$p$，加上这个$p$之后，并不会产生新的质因子。否则，$\mu(pd)=0$，所以此时$f(Tp)=f(T)$。如果$T$没有这个因子，那么其每一个约数乘上这个因子后，由于$\mu(pd)=-\mu(d)$，所以$f(Tp)=f(T)-pf(T)=(1-p)f(T)=f(p)f(T)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=20101009,N=10000005;
int f[N],pri[N],is[N],s[N];
int n,m,tot,ans,div2;
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
void init() {
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!is[i]) pri[++tot]=i,f[i]=qm(mod+1-i);
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;++j) {
            int k=i*pri[j]; is[k]=1;
            if(i%pri[j]) f[k]=1LL*f[i]*f[pri[j]]%mod;
            else {f[k]=f[i];break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=qm(f[i-1]+1LL*f[i]*i%mod);
    for(int i=1;i<=m;++i) s[i]=qm(s[i-1]+i);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    init();
    for(int i=1,j;i<=n;i=j+1) {
        j=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=qm(ans+1LL*qm(f[j]-f[i-1]+mod)*s[n/i]%mod*s[m/i]%mod);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}