图神经网络（GNN）入门笔记（2）——从谱域理解图卷积，ChebNet和GCN实现

一、谱域图卷积（Spectral Domain Graph Convolution）

与谱域图卷积（Spectral Domain Graph Convolution）对应的是空间域（Spatial Domain）图卷积。本节学习的谱域图卷积指的是通过频率来理解卷积的方法。

二、ChebNet

上一节结尾，我们将谱域图卷积写作：
$$(g{\ast }_{g}f)=UW{U}^{T}f$$

这其实已经可以做一些任务了，例如对于一个三维点云图，特征为每个点的坐标或者法向量，进行低通滤波可以把这个三维模型变得更加平滑。
而对于另一些任务，就不大合适。例如，我们有一张论文互相引用图，特征为每篇论文的种类，想要预测其中一些未标记的论文的种类。这时，这种图卷积就暴露了一些问题，例如，参数量和图规模相关以至于不适合处理不同的图，以及该处理方法过于全局，缺乏局部信息。
于是我们重新考虑拉普拉斯矩阵。乘一次拉普拉斯矩阵，相当于每个点聚合一次邻居的信息。那么乘两次，就是聚合2跳邻居的信息。乘k次，是k-hop信息。而：
$$L^k=(U\Lambda U^T{)}^k=U{\Lambda }^k{U}^T$$
因此，我们可以这样修改信号处理方法。我们学习参数${\theta }_0,...,{\theta }_{k-1}$，代表不同距离邻居的重要程度，令$W={\theta }_0{\Lambda }^0+...+{\theta }_{k-1}{\Lambda }^{k-1}$，就是一个对这个任务不错的滤波函数。
不过ChebNet之所以叫ChebNet，就是因为它出于种种复杂的原因使用了一个名为Chebyshev polynomial的技巧来拟合上述的$W$。具体地：
$$W\approx \sum _{k=0}^{K-1}{\theta }_k{T}_k(\tilde{\Lambda })$$
其中$T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_k(x)=2x{T}_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)$

为什么要使用切比雪夫多项式？我看网上有些人说是为了降低复杂度，但实际上计算$T_k(L)$应该并不会比计算$L^k$复杂度更低。实际上应该和切比雪夫多项式在信号处理中的性质有关，由于我相关知识不足，所以暂且略过。总之，目前需要学到的是ChebNet引入的把参数量从和图中点数有关的$O(n)$减少到$O(1)$级别的思想。

而$\tilde{\Lambda }$是对原$\Lambda$进行放缩的值，因为切比雪夫多项式要求参数取值在$[-1,1]$之间，所以对其进行了一个$\Lambda$