图神经网络（GNN）入门笔记（1）——图信号处理与图傅里叶变换

一、信号处理：时域与频域

时域（Time Domain）是我们生活中常见的信号表示方式，以横轴为时间，纵轴为信号该时刻的强度（幅度），就可以得到一张时域图。打个比方，通过每时每刻的震动强度可以得到音频的时域图，或者画一张每小时的车流量，或者每日的降水量的图，也是时域图。
频域（Frequency Domain）则是一种数学上描述信号的方式。在频域中，唯一存在的波形是正弦波（Sine Wave，此处指代余弦和正弦这样的简谐波总称），通过不断叠加不同周期的正弦波，我们认为我们可以拟合所有的时域信号。画成图的话，频域是横轴为频率，纵轴为幅度的一个图形。

那么我们为什么需要频域呢？一方面，将复杂信号拆分为不同频率的正弦波，可以更简洁地对其进行表示。另一方面，通过频率分离，我们可以做到一些滤波操作。例如，一段音频里既有男生在说话，也有女生在说话，我们想把男女生的声音分开，而女生的声音频率要比男生的高，于是就可以根据频率来划分。保留男生的低频声音的滤波叫做低通滤波，而保留女生的高频声音的滤波叫做高通滤波。

二、傅里叶变换

2.1 傅里叶变换的本质

傅里叶变换的总公式如下：
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$
其中$\omega$表示频率，而$t$表示时间，这个操作就是把信号从时域转到频域上。
这个可怕的式子到底是什么意思呢？在这里非常推荐3Blue1Brown的图解。
让我们回到高中学过，或者高中的你正在学的复数概念。复数是二维的数，在横轴的实数轴上，又添加了一条纵轴的虚数轴。而单位虚数$i=\sqrt{-1}$。
著名欧拉公式就是$e^{ix}=\cos x+i\sin x$，这个公式有一个重要的几何意义，那就是$e^{ix}$代表着在复平面上，从(1,0)出发，沿着圆心为原点，半径为1的单位圆逆时针走$x$个单位的圆周，所落到的点代表的复数。
由此可知：

• $h(t)=e^{it}$ 代表一个每秒走1个单位的圆周的，在圆周上逆时针运动的点的轨迹函数。
• $h(t)=e^{-it}$是顺时针运动的轨迹函数。
• $h(t)=e^{-i\omega t}$是每$\frac{1}{\omega }$秒走1单位圆周（或者说每秒走$\omega$单位圆周），在圆周上逆时针运动的点的轨迹函数。
• $h(t)=f(t)e^{-i\omega t}$，则相当于我们将时域图上，横轴为时间，纵轴为幅度的$f(t)$，画到了圆上。时间从轴变成了角度，幅度从轴变成了幅长（到原点的距离）。圆上的一圈，我们能画原时域图$\frac{1}{\omega }$秒的内容。
  
  对于一个正弦波，大部分情况下只要你无限地画下去，它在圆周上都会分布得比较均匀，除了……当$\frac{1}{\omega }$秒恰好是原正弦波的一个周期时。此时，时域图上波峰的位置会在圆的一侧，而波谷的位置会在另一侧，就像这样：
  
  那么这时，我们将这个图形上所有的点都加起来，也就是，找它们二维上的几何平均点（质心），就可以近似得到原函数在$\omega$这个频率下的正弦波有多大的强度。而这种正弦波在原函数中持续时间越长（画了越多圈上图的图案），得到的$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$也会越大。由此，我们就得到了原时域信号在不同频率下的强度。
  同样，也存在频域到时域上的傅里叶逆变换：
  $$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$$

2.2 从线性代数角度看离散傅里叶变换

能够被存储下来的信号，往往没有真正的连续形式，故实际中用得更多的，是离散傅里叶变换。既然离散了，我们显然也没办法把所有频率都做一遍了，此时可以近似地用 2 k π n ( k ∈ { 0 , . . . , n − 1 } \frac{2k\pi}{n}(k \in \{0,...,n-1\} n2kπ​(k∈{ 0,...,n−1}这一套频率来近似地拟合，下面我们记记$W_n=e^{\frac{2\pi }{n}i}$。
假设我们在时域上有一组采样点$f(t_0),...,f(t_{n-1})$，离散傅里叶变换的公式为：
$$F(W_n^k)=\sum _{j=0}^{n-1}f(t_j)W_n^{-kj}$$
相应地，逆傅里叶变换的公式为：
$$f(t_j)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}F(W_n^k)W_n^{kj}$$
如果把傅里叶变换写成矩阵形式，就是这样：
( F ( 0 ) ⋮ F ( n − 1 ) ) = ( W n − 0 ⋯ W n − ( n − 1 ) ⋮ ⋱ ⋮ W n − ( n − 1 ) ⋯ W n − ( n − 1 ) 2 ) ( f ( t 0 ) ⋮ f ( t n − 1 ) ) \begin{pmatrix} F(0) \\ \vdots \\ F(n-1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} W_n^{-0} & \cdots & W_n^{-(n-1)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ W_n^{-(n-1)} & \cdots & W_n^{-(n-1)^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(t_0) \\ \vdots \\ f(t_{n-1}) \end{pmatrix} ​F(0)⋮F(n−1)​ ​= ​Wn−0​⋮Wn−(n−1)​​⋯⋱⋯​Wn−(n−1)​⋮Wn−(n−1)2​​