中国剩余定理与扩展

中国剩余定理

一开始觉得这东西好难。。。后来发现好像也没有这么难。。。
我们来看一道题目：

树王种了一棵treap，她现在决定把这棵treap改造为一棵无旋多叉triep，于是她摘下了treap的所有节点，发现如果她把节点3个3个一打包，会剩下2个节点。如果她把节点5个5个一打包，会剩下3个节点，如果把节点7个7个一打包，会剩下2个节点，求这棵treap最少有多少节点？

首先假如我们求出这样三个数$k1,k2,k3$，满足k1模3余1且是5和7的倍数，k2模5余1且是3,7的倍数，k3模7余1且是3和5的倍数，那么容易意会得到，$k1*2+k2*3+k3*2$一定会是一个满足题目条件的数。而题目的通解可表示为这个数每次都加上3,5,7的最小公倍数

首先我们求出3，5，7的lcm=105
然后我们令：
$x1=105/3=35$,$x2=105/5=21$,$x3=105/7=15$
然后我们求解以下方程：
$a*x1 \% 3 = 1$,$b*x2 \% 5 =1$,$c*x3 \% 7=1$
啊呀这个格式的式子好眼熟。。。那么就愉快地用扩展欧几里德求出来吧！
a=2,b=1,c=1。
答案就是：
$ans=(a*x1*2+b*x2*3+c*x3*2) \% lcm=23$
多棒啊！可爱的代码也很好写啊~

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m[105],a[105],lcm=1;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//扩欧
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    int re=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
    x=y,y=tmp-(a/b)*y;
    return re;
}
int work(){
    int i,j,d,x,y,re=0;
    for(i=1;i<=n;i++)lcm=lcm*m[i];//因为互质所以直接这么写了
    for(i=1;i<=n;i++){
        int kl=lcm/m[i];
        d=exgcd(kl,m[i],x,y);
        x=(x%m[i]+m[i])%m[i];
        re=(re+a[i]*x*kl)%lcm;
    }
    return re;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&m[i],&a[i]);;
    printf("%d",work());
    return 0;
}

可是我们要求的几个数a,b,c不互质怎么办？
那么有请——

扩展中国剩余定理

假设我们这里有两个方程：
$x=a_1*x_1+b_1$
$x=a_2*x_2+b_2$
$a_1$,$a_2$是模数，$b_1$,$b_2$是余数。
那么我们可以合并这两个方程：
$a_1*x_1+b_1=a_2*x_2+b_2$，由于$x_1$和$x_2$可以取负无穷到正无穷，所以符号不能约束它们，我们随便变一变形得到：$a_1*x_1+a_2*x_2=b_2-b_1$
还不赶快有请扩展欧几里德！
好的，现在我们求出了一个最小正整数解$x_1$，那么令$k=(a_1*x_1+b_1)$。现在我们搞个大新闻新方程出来：
$x≡k \pmod {lcm(a_1,a_2)}$
那么一路合并下去就可以得到最终的解答了。
代码(poj2891):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxn=1e5+5;
int n;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    LL re=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
    x=y,y=tmp-(a/b)*y;
    return re;
}
LL m[maxn],a[maxn];
LL work(){
    LL M=m[1],A=a[1],t,d,x,y;int i;
    for(i=2;i<=n;i++){
        d=exgcd(M,m[i],x,y);//解方程
        if((a[i]-A)%d)return -1;//无解
        x*=(a[i]-A)/d,t=m[i]/d,x=(x%t+t)%t;//求x
        A=M*x+A,M=M/d*m[i],A%=M;//日常膜一膜（划掉）模一模，防止爆
    }
    A=(A%M+M)%M;
    return A;
}
int main()
{
    int i,j;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
        printf("%lld\n",work());
    }
    return 0;
}