codeforces 997B 数学

最新推荐文章于 2024-02-07 07:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-02-07 07:00:00 发布 · 954 阅读

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本文通过数学转换将一个计数问题转化为更易处理的形式，并通过限制条件的设定来减少无效组合，最终实现了一个高效的求解算法。文中详细介绍了如何通过观察规律并结合编程实践来解决该问题。

当然，如果你采取打表找规律的方法做的话，本题当然是一道水题。

但是这个规律是怎么来的呢？

首先我们可知，在 $\{1,5,10,50 \}$ 中取 $n$ 个组成不同数的方案数，和在 $\{0,4,9,49 \}$ 中取 $n$ 个的方案数是一样的。这样转化了之后，这些数两两之间互质，并且出现了0，更加好处理。

我们现在尽量去限制4和9，使得0和49可以任意取。

然后我们发现，9个4=4个9+5个0，为了避免重复，我们取的4的个数不能超过8个。

打表找用0和49代替4和9的例子，发现1个4+5个9=1个49+5个0，所以只要取了4，取9的个数就不能超过4个。如果没有取4，那么取9的个数就不能超过48个。

接下来发现，2个4+1个49+6个0=9个9。也就是说，当不取4的时候，取9的个数不能超过8个。

有了以上三点限制之后，我们可以枚举取4和取9的个数 $i$ 和 $j$ ，剩下的数全选0和49，方案数是 $n-i-j$

见下面这个代码，可以发现，当循环跑满了之后的答案会呈现一种线性增长，这就是打表找出的规律的由来。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
typedef long long LL;
int n;LL ans;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(RI i=0;i<=8&&i<=n;++i)
        for(RI j=0;j<=(i==0?8:4)&&j+i<=n;++j)
            ans+=n-i-j+1;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}