16、数值拆分与进位概率分析及相关定理

数值拆分与进位概率分析及相关定理

1. 数值拆分与进位影响分析

首先，我们对数值进行拆分操作。设 $X’ = 2^H X_0 + X_1$，那么显然有 $X = 2^H X_0 + (X_1 + Y)$。这里 $Y < 2^H$，$Y$ 的加入会直接影响 $X$ 的低位部分 $X_1$，而 $(X_1 + Y)$ 求和产生的进位会在一定程度上影响 $X_0$ 的低位部分。

我们的目标是找出进位对 $X_0$ 低位部分影响不超过 $t$ 位的概率。为了实现这个目标，我们做如下假设：
- 假设 $(X_1 + Y)$ 产生进位的概率为 $p_c$。
- 由于 $X_0$ 中的每一位为 0 或 1 的概率均为 $\frac{1}{2}$，且进位会在遇到 0 时停止传播。

下面我们来详细推导进位传播不超过 $t$ 位的概率 $P[\text{carry propagation} \leq t]$：
- 该概率等于不产生进位的概率加上进位传播 1 位、2 位……直到 $t$ 位的概率之和。
- 即 $P[\text{carry propagation} \leq t] = P[\text{no carry}] + \sum_{i = 1}^{t} P[\text{carry}]P[\text{carry propagation} = i]$。
- 进一步转化为 $P[\text{carry propagation} \leq t] = P[\text{no carry}] + \sum_{i = 1}^{t} P[\text{carry}]P[\text{first 0 occurs at i - th LSB of } X_0]$。