13、利用素数重构分解RSA模数

利用素数重构分解RSA模数

1. 素数重构技术的局限性

素数重构技术在分解RSA模数时存在一定的局限性。该技术要求已知的素数位数量至少是缺失位数量的两倍。例如，如果两个素数都缺失60个最低有效位（LSBs），那么为了重构总共60 + 120 = 180个LSBs，此方法需要知道这两个素数接下来的120位或更多位。

在实际场景中，由于实验中使用了有限的格维度，所需已知的位数是135位（如表2所示），而不是理论上的120位。在上述所有情况中，我们缺失素数的前τlN个LSBs。如果在素数的中间某个位置（例如在第i层之后）缺失了大小为τlN的连续位块信息，当η > 2τ + 2i/lN时，该方法仍能提供类似的解决方案。

缺失LSBs数量	理论所需已知位数	实际所需已知位数
60	120	135

2. 最高有效位（MSB）重构的新方法

2.1 相关定义

为了简化符号，我们提出以下定义。设X[i]为X的第i个最高有效位，其中X[0]为最高有效位。同时，定义Xi为X的部分近似值，Xi与X共享从第0位到第i位的最高有效位。用lX表示X的位数，即lX = ⌈log₂X⌉。

2.2 重构思路

重构素数最高有效位一半的思路相当简单。我们利用基本关系N = pq，如果已知其