13、量子自动机与蔡廷Ω数的新表示

量子自动机与蔡廷Ω数的新表示

1. 量子有限自动机的语言识别概率

在量子有限自动机的研究中，语言识别概率是一个重要的研究方向。例如，语言 $a^ b^ $ 可被 MM - QFA 以约 0.68… 的概率识别，但不能以大于 $\frac{7}{9} + \epsilon$（$\epsilon > 0$）的概率识别。这表明不同概率可识别的语言类是不同的。

同时，对于 QFA 识别不同语言所需的状态数也有很多研究成果。在某些情况下，QFA 所需的状态数可能比确定性甚至概率自动机呈指数级减少；而在另一些情况下，可能比确定性自动机呈指数级增加。

此外，对于具有孤立和非孤立割点的语言识别，MM - 量子自动机和 MO - 量子自动机有着不同的应用场景。研究孤立割点识别的论文中，MM - 量子自动机最受欢迎；而研究非孤立割点识别的论文中，MO - 量子自动机更常用。

2. 有限自动机对特定语言的识别

存在一些非正则语言可被具有非孤立割点的概率有限自动机（随机语言）和量子有限自动机识别。由于 MO - 量子有限自动机与 MM - 量子有限自动机不同，这些可识别语言类也可能不同，不过许多相关自然问题仍未解决。

这里重点关注割点为 0 的可识别语言类。在概率识别中，割点为 0 时，输入字的接受判定很简单：接受概率大于 0 则接受，等于 0 则拒绝，这种自动机等价于非确定性自动机，且它们识别的正则语言与确定性自动机相同。

但量子有限自动机的情况不同。考虑回文语言 PALINDROMES，即 $PALINDROMES = {x|x \in {0, 1}^* \text{ 且 } x = x_