16、数学中图表的分类功能

数学中图表的分类功能

在数学领域，图表发挥着至关重要的分类作用。下面将通过具体例子，深入探讨图表在不同数学分支中的分类应用。

拓扑学中的图表分类示例

在拓扑学里，有一个有趣的例子涉及到较小圆（Dyck 的 Grundform）与正方形模型的关系。乍一看，这两个图形似乎代表着不同的表面，但实际上，正方形模型可以从 Dyck 模型推导得出。具体操作步骤如下：
1. 将圆环切成两半；
2. 对切开的部分进行变形；
3. 将其中一半翻转过来，交换某些边的位置；
4. 重新组合原本属于一起的边对，同时抽象地识别其余部分。

这些具有分类功能的图形表示就是图表，它们是定义明确、动态且可用于计算的数学对象。

代数学中的图表分类示例

1. 复半单李代数的基本概念
   • 复半单李代数是一个复杂的代数概念。在复数域 C 上的李代数 g 是一个复向量空间，它配备了一个双线性映射 [·, ·] : g × g → g，并满足以下性质：
     • 对于所有 X ∈ g，[X, X] = 0（这等价于对于所有 X, Y ∈ g，[X, Y] = -[Y, X]）；
     • 对于所有 X, Y, Z ∈ g，[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0（雅可比恒等式）。
   • 李代数 g 的理想 h 是一个李子代数，满足对于 Y ∈ h 和所有 X ∈ g，[X, Y] ∈ h。如果 dim g ≥ 2 且 g