6、环流与升力：复变函数在流体动力学中的应用

环流与升力：复变函数在流体动力学中的应用

在流体动力学的研究中，复变函数为我们理解和分析平面理想流提供了强大的工具。通过复变函数，我们可以构建各种无散无旋的流动模型，并深入研究它们的性质和应用。本文将详细介绍复变函数在流体动力学中的应用，包括复速度场的构建、绘制，以及环流和流出量的计算。

1. 复速度场的基础：z的幂次

我们从复函数生成的流动示例开始，考虑 $w(z) = z^k$ 的形式。从 $w = z^k = r^k e^{ik\theta}$ 出发，我们可以得到速度和方向场的表达式：
- 速度：$q \equiv|z^k| = r^k$
- 方向：$\beta \equiv - \arg z^k = -k\theta$

根据德莫弗方程，我们还能得到笛卡尔分量和极坐标分量：
- 笛卡尔分量：
- $u = \Re z^k = r^k \cos k\theta$
- $v = - \Im z^k = -r^k \sin k\theta$
- 极坐标分量：
- $v_r = r^k \cos(k + 1)\theta$
- $v_\theta = -r^k \sin(k + 1)\theta$

1.1 极坐标下的散度和涡度

极坐标下的连续性方程为 $\frac{1}{r} \frac{\partial (r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} = 0$，我们可以验证复速度 $w = z^k$ 满足质量守恒：
$\frac{1}{r} \frac{\