7、环流、升力与保角映射：流体动力学的深入探索

环流、升力与保角映射：流体动力学的深入探索

1. 环流与源、涡的基本概念

在流体动力学中，对于复速度 ( w = A_kz^k )，当 ( k \neq -1 ) 时，环量 ( \Gamma ) 和流量 ( Q ) 都为 0；而当 ( w = \frac{A_{-1}}{z} ) 时，环量 ( \Gamma = 2\pi iA_{-1} )，流量 ( Q = 2\pi\Re(A_{-1}) )。基于此，通常将原点处的点源表示为 ( w_{source} = \frac{Q}{2\pi z} )，点涡表示为 ( w_{vortex} = \frac{i\Gamma}{2\pi z} )，这里的 ( Q ) 和 ( \Gamma ) 分别称为源和涡的强度。当 ( Q < 0 ) 时，称该源为汇；若 ( Q ) 的符号尚未确定，强度为 ( -Q ) 的源可称为强度为 ( Q ) 的汇。

复势 ( W ) 与复速度 ( w ) 相关，对于 ( w = A_kz^k )，其复势为：
[
W =
\begin{cases}
A_k(k + 1)^{-1}z^{k + 1}, & (k \neq -1) \
A_{-1}\ln z, & (k = -1)
\end{cases}
]
除 ( k = -1 ) 外，其余情况的复势都是单值的。

2. 标量势与流函数

2.1 标量势与无旋流

在理想流中，两点间标量势的差值等于沿连接这两点的流体路径的环量的负值。一般来说，通过标量函数 ( \varphi ) 按 ( u = \frac{\partial\