9、汉诺塔图：结构、性质与应用

汉诺塔图：结构、性质与应用

1. 汉诺塔图的定义与基本性质

汉诺塔图是研究汉诺塔问题中状态和移动的重要工具。为了容纳 n 个圆盘的汉诺塔的所有常规状态，我们引入了集合 (T^n)。在 (T^n) 上施加图结构，若两个顶点（即常规状态）可以通过移动一个圆盘从一个状态得到另一个状态，则它们相邻。这个具有 (3^n) 个顶点的图被称为 n 个圆盘和 3 个柱子的汉诺塔图，记为 (H_n^3)。

汉诺塔图的顶点集和边集可以形式化表示为：
- (V(H_n^3) = T^n)
- (E(H_n^3) = { {s_i(3 - i - j)^{d - 1}, s_j(3 - i - j)^{d - 1}} \mid i, j \in T, i \neq j, d \in [n], s \in T^{n - d}})

这里每条边代表圆盘 d 在柱子 i 和 j 之间的移动，且与较大圆盘（即底部的 (n - d) 个圆盘）的分布 s 无关。

汉诺塔图的着色问题也有重要结论：
- 对于任意 (n \in N)，(\chi(H_n^3) = 3 = \chi’(H_n^3))。
- 函数 (s \mapsto (\sum_{d = 1}^{n} s_d) \bmod 3) 定义了 (H_n^3) 的顶点着色；与边关联的移动的闲置柱子的标签定义了边着色。

2. 汉诺塔图的递归结构

汉诺塔图具有明显的递归结构，(H_{1 + n}^3) 由三个子图 (iH_n^3)（(i \in T)）组成，这些子图由顶点集 (iT^n) 诱导。任意两个子图，如 (iH_n^3) 和 (jH_n^3