10、汉诺塔图的规则状态转换与相关数学性质解析

汉诺塔图的规则状态转换与相关数学性质解析

1. 规则状态转换问题引入

在汉诺塔图 (H_n^3) 中，由于其连通性和对应的距离函数 (d)，自然引出了新的问题类型 (P2)，即从任意规则初始状态 (s) 到任意规则目标状态 (t) 的任务，也就是要找到 (H_n^3) 中任意两个顶点之间的（最短）路径及其距离 (d(s,t))。

定理表明，最坏情况仍是经典的完美状态到完美状态的任务，即 (\forall n \in N_0 : diam(H_n^3) = 2^n - 1)。不过，之前证明中隐含的路径通常并非最短路径。例如，当 (i = j) 时，(d(is,jt) = d(s,t) \leq 2^n - 1 < 2^{n + 1} - 1)，这是“拳击手规则”的直接结果。

“拳击手规则”（Lemma 2.26）指出：在 (H_{1 + n}^3) 的测地线上，若最大圆盘从某个 peg 移开，它不会再回到同一 peg。这一规则在后续分析中起到了重要作用。

为了进一步研究，定义了两个重要的符号：
- (d(s;j,k) := d(s,j^n) - d(s,k^n))
- (d(is) := |d(s;j,k)| \in [2^n]_0)

这些符号的含义可以通过图形直观理解，它们为后续推导相关命题奠定了基础。

2. 顶点离心率相关性质

对于顶点 (is \in T^{1 + n}) 的 (H_{1 + n}^3)，可以推导出其离心率的相关性质。

命题 2.27 表明：(\epsilon(is) = max{d(is,j^{1 + n}),d(is,k^{1