12、汉诺塔问题与谢尔宾斯基图：深入剖析与拓展应用

汉诺塔问题与谢尔宾斯基图：深入剖析与拓展应用

1. 卢卡斯的第二个问题

在汉诺塔问题的研究中，存在一些特殊情况值得关注。当使用非最佳缓冲盘来移动较小的圆盘时，有时反而能得到更短的解决方案。对于任务 $\sigma \to j^n$（其中 $\sigma \in T^n$，$n \in N_0$，$j \in T$），除了在 peg $j$ 上处于半完美但非完美的初始状态（即 $s = j^n \neq \sigma$）外，该任务有唯一的最优解。在这种特殊的半完美非完美初始状态下，会有两个对称的解决方案，它们只是通过交换与 $j$ 不同的 peg 的角色而有所区别。

关于平均距离，之前已知规则状态到固定完美状态的平均距离为 $\frac{2}{3}(2^n - 1)$。对于所有（不规则）状态的平均距离问题，虽然有人给出了该值在 $n$ 较大时与 $2^n$ 同阶的论证，但要找出其精确值仍是一项颇具挑战性的任务。

以下是相关的练习题：
1. 找出在 $\overrightarrow{H_n^3}$（$n \geq 2$）中，一个需要 $2^{n - 2} + 2^{n - 1}$ 步移动的 P3 任务示例。
2. 证明命题 3.6。
3. 考虑任务 $53 || 421 \to |1234 |5 = 214$，分别计算圆盘 5 移动一次、两次和三次时总共需要的移动步数。
4. 找出在 $\overrightarrow{H_{10}^3}$ 中，从图 3.1 中的不规则状态到 peg 2 上的完美状态的最优解决方案的长度。
5. 证明从 $\sigma \in T^n$（$n \geq 2$）到 $j^n$（$j \in T$）在 $\