8、经典汉诺塔问题：从任意状态到完美状态的求解

经典汉诺塔问题：从任意状态到完美状态的求解

1. 引言

汉诺塔问题是一个经典的数学谜题，通常探讨如何将一叠圆盘从一个柱子移动到另一个柱子。在实际求解过程中，人们往往难以始终遵循最优路径，这使得问题从原本与简单编码同构的形式，转变为一个具有挑战性的数学问题。本文主要聚焦于如何从任意规则状态达到完美状态，即所谓的 P1 类型问题。

2. 相关基础概念

2.1 圆盘移动方向规则

在汉诺塔问题中，奇数编号的圆盘会按照与圆盘 1 相同的方向循环移动，而偶数编号的圆盘则会朝着相反的方向循环移动，这被定义为圆盘的正确移动方向。

2.2 P1 - 自动机

P1 - 自动机用于判断状态是否位于从源柱子 (i) 到目标柱子 (j) 的最优路径上。它实现了二元运算 (i \triangle j = 2(i + j) \bmod 3)，其中 (i, j \in T)。该自动机的状态变化规则如下：从状态 (j) 开始，根据 (i) 进行状态改变，最终会到达状态 (i \triangle j)。需要注意的是，当 (i \neq j) 时，(i \triangle j = 3 - i - j)；否则，(i \triangle j = j)。其对应的 Cayley 表如下：
| (\triangle) | 0 | 1 | 2 |
| — | — | — | — |
| 0 | 0 | 2 | 1 |
| 1 | 2 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 2 |

3. 从放弃状态恢复的算法

3.1 算法 8：从放弃状态的最优第一步移动 <