HDU - 5446 Unknown Treasure

最新推荐文章于 2019-03-26 00:00:09 发布

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#lucas定理 #中国剩余定理 #组合

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博客聚焦于求解C(n,m) mod p问题，因n、m、p数量级大，直接递推会溢出。介绍可利用Lucas定理求解大组合数取模，对每个素数取模求余数后，再用中国剩余定理求解最小满足解。

题目链接

求C(n,m)mod p，其中 $p=\prod_{i=1}^{k}p_{i}$ ， $p_{i}$ 是素数。

因为n，m，p的数量级很大，直接用递推式会暴。

lucas定理可以求解大组合数取模，即可以利用lucas定理对每个素数取模求余数之后，再用中国剩余定理求解最小满足解。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll e_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1;y=0;
		return a;
	}
	ll d=e_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=(a/b)*x;
	return d;
}

ll quick_multi(ll a,ll b,ll mod){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1) res=(res*a)%mod;
		b>>=1;
		a=(a*a)%mod;
	}
	return res;
}

ll C(ll n,ll m,ll mod){
	if(n<m) return 0;
	if(n==m) return 1;
	if(m>(n-m)) m=n-m;
	ll fz=1,fm=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		fz=fz*i%mod;
		fm=fm*(n-i+1)%mod;
	}
	ll res=(fm*quick_multi(fz,mod-2,mod))%mod;
	return res;
}

ll lucas(ll n,ll m,ll p){
	if(m==0) return 1;
	ll res=lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p);
	return res;
}

ll multi(ll a,ll b,ll mod){
	ll res=0;
	while(b){
		if(b&1) res=(res+a)%mod;
		b>>=1;
		a=(a+a)%mod;
	}
	return res;
}

ll china(ll pri[],ll a[],ll len){
	ll M=1,res=0;
	for(int i=0;i<len;i++) M*=pri[i];
	for(int i=0;i<len;i++){
		ll m=M/pri[i];
		ll x,y;
		e_gcd(pri[i],m,x,y);
		res=(res+multi(multi(y,m,M),a[i],M))%M;
	}
	return (res%M+M)%M;
}

ll pri[20],a[20];
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		ll n,m;
		int k;
		scanf("%lld%lld%d",&n,&m,&k);
		for(int i=0;i<k;i++){
			scanf("%d",&pri[i]);
			a[i]=lucas(n,m,pri[i]);
		}
		ll ans=china(pri,a,k);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}