HDU-5446 Unknown Treasure（中国剩余定理+卢卡斯定理）

题意

输出 $C_n^m\% \displaystyle\prod_{i=1}^pp_i$ 的值。
$1 \leq n,m \leq 10^{18}$
$1 \leq k \leq 10$
$\displaystyle\prod_{i=1}^pp_i \leq 10^{18}$ 且 $1 \leq p_i \leq 10^5$

思路

$Lucas$ 定理与 $CRT$ 结合的模板题，其中分成小质数分别取模合并出大数的模，这种方法值得借鉴。
$Lucas$ 定理内容：
对于质数 $P$ ，有 $C_n^m \equiv C_{n/P}^{m/P} \times C_{n\%P}^{m\%P} \pmod P$ 。
证明：
设 $n/P=s,m/P=t,n\%P=u,m\%P=v$
则原题化为 $C_n^m \equiv C_{s}^{t} \times C_{u}^{v} \pmod m$
构造二项式 $(1+x)^n$
$(1+x)^n$ ①
$\equiv (1+x)^{sP+u}$
$\equiv ((1+x)^P)^s \times (1+x)^u$
$\equiv (1+x)^s \times (1+x)^u$ （费马小定理）
$\equiv (1+x^P)^s \times (1+x)^u ②$$\pmod P$
而幂为 $m$ 那一项的系数①项中是 $C_n^m$ ，②项中是$C_s^t \times C_u^v$。
两者相等，得证。

代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x);i<=(y);i++)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x);i>=(y);i--)
typedef long long LL;
using namespace std;
LL fac[100003],invfac[100003];

struct CRT
{
    LL A,P;
    LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}
    void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
    {
        if(!b){x=1,y=0;return;}
        exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
        return;
    }
    LL Exgcd(LL A,LL B,LL C)
    {
        LL k1,k2,g=gcd(A,B);
        A/=g,B/=g,C/=g;
        exgcd(A,B,k1,k2);
        return (k1*C%B+B)%B;
    }
    void kase_insert(CRT _)
    {
        LL res=Exgcd(P,_.P,_.A-A);
        A+=res*P;
        P=P/gcd(P,_.P)*_.P;
        return;
    }
};

LL Pow(LL a,LL p,LL P)
{
    LL res=1;
    while(p)
    {
        if(p&1)(res*=a)%=P;
        (a*=a)%=P;
        p>>=1;
    }
    return res;
}
void init(LL P)
{
    LL f=1;
    FOR(i,0,P-1)
    {
        fac[i]=f;
        (f*=i+1)%=P;
    }
    invfac[P-1]=Pow(fac[P-1],P-2,P);
    DOR(i,P-2,0)invfac[i]=invfac[i+1]*(i+1)%P;
    return;
}
LL C(LL n,LL m,LL P){return n<m?0:fac[n]*invfac[n-m]%P*invfac[m]%P;}
LL Lucas(LL n,LL m,LL P){return m?Lucas(n/P,m/P,P)*C(n%P,m%P,P)%P:1;}

int main()
{
    int T,k;LL n,m,P;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%d",&n,&m,&k);
        CRT sum;
        FOR(i,1,k)
        {
            scanf("%lld",&P);
            init(P);
            if(i==1)sum=(CRT){Lucas(n,m,P),P};
            else sum.kase_insert((CRT){Lucas(n,m,P),P});
        }
        printf("%lld\n",sum.A);
    }
    return 0;
}