HDU5446 Unknown Treasure[中国剩余定理+Lucas]

最新推荐文章于 2019-02-18 22:58:22 发布

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#hdu #中国剩余定理 #lucas #数论 #组合数学

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本文介绍了一道经典组合数学问题的解法，利用Lucas定理求解C(n,m)对多个素数乘积取模的问题，并通过中国剩余定理合并结果。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Unknown Treasure

HDU - 5446

题意:

T组数据, 给你n,m,k ,接下来给你k个素数求C(n,m)%(这k个素数的积)

题解:

题目给我的M 是由(p1*p2*...*pk)组成的,给我的第一反应是中国剩余定理.

那么照着这个方向,我们就必须得得到同余式.

我们的同余式则是有 x%pi=ai 那么我们的x就是我们需要求的组合数.

用Lucas 求出C(n,m)%pi的值,再用中国剩余定理求出x%M的值

(好久没认真写题了,日常划水,现在好不容易写一题博客)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=15;
const int maxn=1e5+5;
ll n,m;
int k;
int prim[N];
ll a[N];
ll fac[maxn];
void initial(int mod)
{
    fac[0]=1;
    for (int i=1 ; i<mod+1 ; ++i)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
ll Pow(ll n,ll m,ll mod)
{
    n%=mod;
    ll res=1;
    while (m)
    {
        if (m&1)
            res=res*n%mod;
        n=n*n%mod;
        m>>=1;
    }
    return res;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
    if (n<m)
        return 0;
    return fac[n]*Pow(fac[m]*fac[n-m],p-2,p)%p;
}
ll lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    if (!n || !m)
        return 1;
    return lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p)%p;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*x;
    return gcd;
}
ll add(ll a,ll b,ll m)
{
    ll ans=0;
    while (b)
    {
        if (b&1)
            ans=(ans+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll crt(ll a[],int m[],int n)
{
    ll M=1;
    ll ans=0;
    for (int i=0 ; i<n ; ++i)
        M*=m[i];
    for (int i=0 ; i<n ; ++i)
    {
        ll x,y;
        ll Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],x,y);
        ans=(ans+add(add(x,Mi,M),a[i],M)+M)%M;
    }
    if (ans<0)
        ans+=M;
    return ans;
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld%d",&n,&m,&k);
        for (int i=0 ; i<k ; ++i)
        {
            scanf("%d",&prim[i]);
            initial(prim[i]);
            a[i]=lucas(n,m,prim[i]);
        }
        printf("%lld\n",crt(a,prim,k));
    }
	return 0;
}