jzoj 5061.【GDOI2017第二轮模拟day1】最长路径 dp

最新推荐文章于 2021-03-22 19:22:40 发布

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本文探讨了在特定竞赛图中，从指定起点出发，寻找最长简单路径的问题。通过动态规划方法，详细阐述了如何计算满足特定长度的路径数量，并提供了一段C++代码实现。适用于对图论和动态规划感兴趣的学习者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

在Byteland 一共有n 个城市，编号依次为1 到n，它们之间计划修建n(n-1)/2条单向道路，对于任意两个不同的点i 和j，在它们之间有且仅有一条单向道路，方向要么是i 到j，要么是j 到i。换句话说，这是一个n 个点的竞赛图。
Byteasar 居住在1 号城市，他希望从1 号城市出发，沿着单向道路不重复地访问一些城市，使得访问的城市数尽可能多。
请写一个程序，帮助Byteasar 计算有多少种道路修建方式，使得从1 号点出发的最长简单路径经过点数恰好为k，由于答案可能很大，请对P 取模输出。

Input

第一行包含两个正整数n,P，表示点数和模数。

Output

输出n 行，第i 行输出从1 出发的最长简单路径经过点数恰好为i 的竞赛图个数模P。

Sample Input

输入1：
2 233
输入2：
3 233

Sample Output

输出1：
1
1
输出2：
2
2
4

Data Constraint
对于 $100%100\%$ 数据， $n \leq 2000$

分析：
设 $f [i] [j]$ 表示 $i$ 个点最长路径为 $j$ 的联通图。
那么
$f[i][j]=f[j][j]∗(i−1j−1)∗2(i−j2)f[i][j]=f[j][j]*\binom{i-1}{j-1}*2^{\binom{i-j}{2}}$
$f [i] [i]$ 可以用 $i$ 个点的全部竞赛图去减掉其余的。
第一个式子可以这样理解，对于其余的 $i - j$ 个点可以随便练，而这 $i - j$ 个点连到前面 $j$ 个点的的边都是连过去的。
由于编号问题要加一个组合数，但是1号点必须在前面的图中。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=2007;

using namespace std;

int n;
LL mod;
LL f[maxn][maxn],C[maxn][maxn],p[maxn];

LL ksm(LL x,LL y)
{
	if (y==0) return 1;
	LL c=ksm(x,y/2);
	c=(c*c)%mod;
	if (y&1) c=(c*x)%mod;
	return c;
}

int main()
{
	freopen("path.in","r",stdin);
	freopen("path.out","w",stdout);
	scanf("%d%lld",&n,&mod);
	for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=ksm(2,i*(i-1)/2);
	C[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for (int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		LL sum=p[i];
		for (int j=1;j<i;j++)
		{
			f[i][j]=f[j][j]*C[i-1][j-1]%mod*p[i-j]%mod;
			sum=(sum+mod-f[i][j])%mod;
		}
		f[i][i]=sum;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",f[n][i]);
}