bzoj 3774: 最优选择最小割

最新推荐文章于 2021-09-10 21:20:12 发布

Amber_lylovely

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分类专栏：网络流

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本文探讨了一个关于在N*M的方格图中选择点以最大化回报-代价的问题，通过应用最小割模型来找到最优解。文章详细介绍了如何将问题转化为最小割问题，并提供了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

小N手上有一个N*M的方格图，控制某一个点要付出Aij的代价，然后某个点如果被控制了，或者他周围的所有点(上下左右)都被控制了，那么他就算是被选择了的。一个点如果被选择了，那么可以得到Bij的回报，现在请你帮小N选一个最优的方案，使得回报-代价尽可能大。

Input

第一行两个正整数N,M表示方格图的长与宽。

接下来N行每行M个整数Aij表示控制的代价。

接下来N行每行M个整数Bij表示选择的回报。

Output

一个整数，表示最大的回报-代价(如果一个都不控制那么就是0)。

Sample Input

3 3

1 100 100

100 1 100

1 100 100

2 0 0

5 2 0

2 0 0
Sample Output

8
HINT

对于100%的数据，N,M<=50，Aij,Bij都是小于等于100的正整数。

分析：
显然是最小割模型。
先黑白染色。每个点拆成两个点 $i$ 和 $i^{'}$ 。源点 $S$ 向所有黑点的 $i$ 连流量为 $A_i$ 的边，白点 $i^{'}$ 向汇点 $T$ 连流量为 $A_i$ 的边。 $i$ 向 $i^{'}$ 连流量为 $B_i$ 的边。对于相邻的 $i$ 和 $j$ ， $i^{'}$ 和 $j^{'}$ 连上inf的边。
对于一个点的增广路，有三部分构成。割掉 $S$ 向 $i$ 的边，表示控制这个点；割掉 $i$ 向 $i^{'}$ 的边，表示不要这个点；割掉与 $i^{'}$ 相邻的点 $j^{'}$ 到 $T$ 的边，表示控制周围所有点。
可以看出，中间这一条边不会影响到他周围的点，仅仅意味着放弃这个点。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 3774
    User: ypxrain
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:120 ms
    Memory:9496 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
 
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=5e4+7;
const int maxe=5e5+7;
 
using namespace std;
 
int n,m,s,t,x,ans,cnt;
int ls[maxn],dis[maxn];
 
struct edge{
    int y,w,op,next;
}g[maxe];
 
queue <int> q;
 
int po(int x,int y)
{
    return (x-1)*m+y;
}
 
void add(int x,int y,int w)
{
    g[++cnt]=(edge){y,w,cnt+1,ls[x]};
    ls[x]=cnt;
    g[++cnt]=(edge){x,0,cnt-1,ls[y]};
    ls[y]=cnt;
}
  
bool bfs()
{
    while (!q.empty()) q.pop();
    for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    q.push(s);
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
        {
            int y=g[i].y;
            if ((dis[y]>dis[x]+1) && (g[i].w))
            {
                dis[y]=dis[x]+1;
                if (y==t) return 1;
                q.push(y);
                  
            }
        }
    }
    return 0;
}
  
int dfs(int x,int maxf)
{
    if (x==t) return maxf;
    int ret=0;
    for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
    {
        int y=g[i].y;
        if ((g[i].w) && (dis[y]==dis[x]+1))
        {
            int f=dfs(y,min(g[i].w,maxf-ret));
            if (!f) dis[y]=-1;
            g[i].w-=f;
            g[g[i].op].w+=f;
            ret+=f;
            if (ret==maxf) break;
        }
    }  
    return ret;
}
  
int dinic()
{
    int flow=0;
    while (bfs()) flow+=dfs(s,inf);
    return flow;
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=0,t=n*m*2+1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            if ((i+j)%2==0) add(s,po(i,j),x);
                       else add(po(i,j)+n*m,t,x);
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=m;j++)
        {
            scanf("%d",&x);
            ans+=x;
            add(po(i,j),po(i,j)+n*m,x);
            if ((i+j)%2==0)
            {
                if (i>1)
                {
                    add(po(i,j),po(i-1,j),inf);
                    add(po(i,j)+n*m,po(i-1,j)+n*m,inf);
                }
                if (i<n)
                {
                    add(po(i,j),po(i+1,j),inf);
                    add(po(i,j)+n*m,po(i+1,j)+n*m,inf);
                }
                if (j>1)
                {
                    add(po(i,j),po(i,j-1),inf);
                    add(po(i,j)+n*m,po(i,j-1)+n*m,inf);
                }
                if (j<m)
                {
                    add(po(i,j),po(i,j+1),inf);
                    add(po(i,j)+n*m,po(i,j+1)+n*m,inf);
                }
            }
        }
    }   
    ans-=dinic();
    printf("%d\n",ans);
}