bzoj 5394: [Ynoi2016]炸脖龙扩展欧拉定理+树状数组

最新推荐文章于 2020-05-13 19:28:27 发布

Amber_lylovely

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分类专栏：数论树状数组

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树状数组

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本文探讨了利用扩展欧拉定理解决特定序列操作问题的方法，通过递归应用定理，确保操作数b始终大于等于欧拉函数值ϕ(m)，并采用树状数组进行高效区间修改。详细解析了算法思路，提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：
给一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，支持两个操作。
在这里插入图片描述

分析：
考虑扩展欧拉定理，
$m)a^b≡a^{b\ mod\ \phi(m)+\phi(m)} (mod\ m)$
保证 $b≥ϕ(m)b≥\phi(m)$ ，如果不大于可以直接暴力算。
对于一个询问 $q (l, r, p)$ ，可以看做求 $q(l+1,r,ϕ(p))q(l+1,r,\phi(p))$ ，得到值后判断是否大于 $ϕ(p)\phi(p)$ ，只要对 $ϕ(p)\phi(p)$ 取过模就一定大于 $ϕ(p)\phi(p)$ ，然后直接快速幂得到。
对于 $q(l+1,r,ϕ(p))q(l+1,r,\phi(p))$ 还是可以继续递归下去，直到 $ϕ(p)=1\phi(p)=1$ ，结果一定取过模，直接返回 $1$ 。这样不超过 $l o g n$ 次递归就可以是模数为 $1$ 。
修改可以使用树状数组。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 5394
    User: ypxrain
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:11000 ms
    Memory:182932 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
 
const int maxn=5e5+7;
const int maxd=2e7;
 
using namespace std;
 
int n,m,op,x,y,k,cnt;
int a[maxn],phi[maxd+7],prime[maxd];
bool not_prime[maxd];
 
struct Treearray{
    LL t[maxn];
    void updata(int x,int k)
    {
        for (int i=x;i<=n;i+=i&(-i)) t[i]+=(LL)k;
    }
    LL getsum(int x)
    {
        LL sum=0;
        for (int i=x;i>0;i-=i&(-i)) sum+=t[i];
        return sum;
    }
    LL ins(int l,int r,int k)
    {
        updata(l,k);
        if (r<n) updata(r+1,-k);
    }
}T;
 
void getphi(int n)
{
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
 
LL power(LL x,LL y,LL p)
{
    LL ret=1;
    int flag=0,flag1=0;
    while (y)
    {
        if (y&1)
        {
            ret*=x;
            flag=flag1;
            if (ret>=p) ret%=p,flag=1;
        }
        if (x>=p) flag1=1,x%=p;
        x=x*x;
        if (x>=p) flag1=1,x%=p;
        y>>=1;
    }
    if (flag) return ret+p;
    return ret;
}
 
LL solve(int l,int r,int p)
{
    if (p==1) return 1;
    if (l>r) return 1;
    LL x=T.getsum(l)+(LL)a[l],y=solve(l+1,r,phi[p]);
    return power(x,y,(LL)p);
}
 
int main()
{
    getphi(maxd);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&op,&x,&y,&k);
        if (op==1) T.ins(x,y,k);
        else
        {
            printf("%lld\n",solve(x,y,k)%k);
        }
    }
}