[Ynoi2016]炸脖龙I/Nephren Ruq Insania

Ynoi竟然出了个奈芙莲的题，少见啊

Ynoi竟然有个不卡常的题，更少见了

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这道题其实思路非常好想，本质上就是一个暴力，但是要用到拓展欧拉定理，是什么呢？

$$a^c\equiv \{\begin{array}{l}{a}^c,c<\varphi (p)\\ a^{c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (p)+\varphi (p)},c\ge \varphi (p)\end{array}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$$

这个东西有什么用呢？做过这道题的就应该很明显了

我们观察$\varphi (p)$一定$\le \frac{n}{2}$，那么也就是说最多经过$\log p$次之后，我们的$\varphi (\varphi (\varphi (...\varphi (p))))=1$，这个时候根据我们上面的拓展欧拉定理，我们就不需要继续算剩下的部分了，因为剩下的部分算完肯定是$1$

也就是说我们对于每次查询，从$x$暴力往右扫，每次都让$p=\varphi (p)$，那么经过一定次数之后剩下的就不用管了，然后我们再回溯更新这一部分的答案就可以

因为有区间加之类的操作，所以我们用树状数组维护差分，就可以求出每一个位置上的数是多少了

其实这题根这道题也挺像的吧，但是上帝那道题的数据比较水，我们会发现，当我们的$c<\varphi (p)$的时候，我们是不能$+\varphi (p)$的，这个东西就非常的恶心，我们需要特判一下

特判的方法也比较简单，我们在做快速幂的过程中，每次计算完先不取模，如果发现比$p$大，$flag=1$，然后再取模，做完快速幂之后再判断如果$flag=1$，那么再加上$\varphi (p)$

快速幂大概是这个样子的

int Qpow(int base,int ind,int mod){
    int res=1;
    flag=false;
    if(base>=mod)flag=true,base%=mod;
    while(ind){
        if(ind&1){
            res=res*base;
            if(res>=mod)flag=true,res%=mod;
        }
        base=base*base;
        if(base>=mod)flag=true,base%=mod;
        ind>>=1;
    }
    return res;
}

好长啊

查询的时候其实是不用写$dfs$的，我们可以直接手动模拟栈，先把要求的部分的模数都预处理出来，然后从右往左算就可以

        else{
            int now=x;
            modn[x]=p;
            p=phi[p];
            while(p>1&&now<y){
                modn[++now]=p;
                p=phi[p];
            }
            int res=1;
            _Rep(i,now,x){
                res=Qpow(ask(i),res,modn[i]);
                if(flag)res+=modn[i];
            }
            printf("%lld\n",res%modn[x]);
        }

由于$p\le 2\times 10^7$，所以我们要线性筛，然后这题空间500MB，放心的开longlong吧。

其他细节没什么了，只要不像我一样线性筛出一堆锅就好

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然后是这题的复杂度，我们发现，每次询问我们最多查询$\log p$次，每次需要$\log n$的时间，然后算快速幂需要$\log p$次的时间，所以这题的总复杂度应该是$O(m\log n{\log }^{2}p)$

毒瘤的lxl这题仁慈的开了3s时限

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)

typedef long long ll;

const int N=5e5+5;
const int M=2e7+5;

template<typename T> void read(T &x){
   x=0;int f=1;
   char c=getchar();
   for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
   for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
    x*=f;
}

# define int long long

int n,m;
int a[N],bit[N];
int phi[M],prime[N*10],tot;
int modn[N];
bool isp[M],flag;

int lowbit(int o){
    return o&-o;
}

void add(int o,int x){
    for(;o<=n;o+=lowbit(o))bit[o]+=x;
}

int ask(int o){
    int res=0;
    for(;o;o-=lowbit(o))res+=bit[o];
    return res;
}

void init()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=2e7;i++){
        if(isp[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=2e7;j++){
            isp[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

int Qpow(int base,int ind,int mod){
    int res=1;
    flag=false;
    if(base>=mod)flag=true,base%=mod;
    while(ind){
        if(ind&1){
            res=res*base;
            if(res>=mod)flag=true,res%=mod;
        }
        base=base*base;
        if(base>=mod)flag=true,base%=mod;
        ind>>=1;
    }
    return res;
}

signed main()
{
    memset(isp,true,sizeof(isp));
    read(n),read(m);
    Rep(i,1,n)read(a[i]);
    Rep(i,1,n)add(i,a[i]-a[i-1]);
    init();
    Rep(i,1,m){
        int opt,x,y,p;
        read(opt),read(x),read(y),read(p);
        if(opt==1){
            add(x,p);
            add(y+1,-p);
        }
        else{
            int now=x;
            modn[x]=p;
            p=phi[p];
            while(p>1&&now<y){
                modn[++now]=p;
                p=phi[p];
            }
            int res=1;
            _Rep(i,now,x){
                res=Qpow(ask(i),res,modn[i]);
                if(flag)res+=modn[i];
            }
            printf("%lld\n",res%modn[x]);
        }
    }
    return 0;
}

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因为这题是Ynoi，所以来说点没用的

奈芙莲其实戏份挺少的，因为第四卷没有拍嘛

虽然她没有爱尔和珂朵莉的美貌

但是她达成了一件珂朵莉都没有达成的事，抱着威廉睡觉

而且，她是不是也算是在最后一刻绽放呢？

她难道不也是最幸福的女孩子吗？