jzoj 5858. 【GDOI模拟2018.9.7】宴会 ntt

最新推荐文章于 2019-07-06 17:01:54 发布

原创最新推荐文章于 2019-07-06 17:01:54 发布 · 265 阅读

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Description
朝圣刚回来，国王就准备举办盛大的宴会，由于你很闲，所以你来帮国王筹备宴会。现在需要为宴会准备水果，由于你国物质匮乏，所以全国一共只有 n 个苹果，m 个梨。
由于国王具有 “精神错乱” 的特质，所以他将会从这 n + m 个水果中随机拿出 k 个，用于这次宴会。
你听说领主们都有一个癖好，如果宴会中的苹果的数量是一个质数，那么他们就会很高兴。但是因为国王是随机选的水果，所以你想知道苹果数量是质数的概率，对 998244353 取模。
负责收购梨的官员上周去小舅子家里了，所以现在还不能准确地知道有几个梨，不过你通过估计可以确定最多有 M 个梨，所以你需要对 m ∈ [0, M ] 都求出答案。

Input
第一行三个数，表示 n，M ，k。

Output
输出 M + 1 行，第 i 行表示 m = i − 1 时的答案。

Sample Input
2 1 2

Sample Output
1
332748118

Data Constraint

以 m = 1 为例。
只有选了 2 个苹果是合法的，那么方案有 1 种。因为方案总数为 C2 = 3 种，所以概
率为 1/3，在模意义下就是 332748118。

Hint
子任务一（30pts）：n, M ≤ 15，k ≤ 5。
子任务二（20pts）：n, M, k ≤ 10^3。
子任务三（50pts）：无特殊限制。
对于所有的数据，n, M, k ≤ 10^5，k ≤ n。

分析：
显然是求

f [m] = 1 ( n + m k ) \sum i = 0 k (n i) * (m k - i) * p r i m e [i]

$f[m]=\frac{1}{\binom{n+m}{k}}\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}*\binom{m}{k-i}*prime[i]$
其中当

ii $i$ 是质数时，

p r i m e [i] = 1

$prime[i]=1$ ；否则为

00 $0$ 。
化简一下就是，

f [m] = \frac{1}{(\binom{n + m}{k})} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) * m! * \frac{1}{(k - i)! * (m - k + i)!} * p r i m e [i]

$f[m]=\frac{1}{\binom{n+m}{k}}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}*m!*\frac{1}{(k-i)!*(m-k+i)!}*prime[i]$
因为对于每个

ff $f$ 来说，

n, m, k

$n,m,k$ 一定，所以就是求

∑ni=0(ni)∗1(k−i)!∗(m−k+i)!∗prime[i]∑i=0n(ni)∗1(k−i)!∗(m−k+i)!∗prime[i] $\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}*\frac{1}{(k-i)!*(m-k+i)!}*prime[i]$
我们设这个是一个卷积形式，具体来说，

A (i) = (n k - i) * 1 i ! * p r i m e [k - i]

$A(i)=\binom{n}{k-i}*\frac{1}{i!}*prime[k-i]$
这里是换了

ii $i$ 和

k - i

$k-i$ 。

B (i) = 1 i !

$B(i)=\frac{1}{i!}$
这两个跑一个卷积，再乘上前面的就可以了。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const int maxn=3e5+7;
const LL G=3;
const LL mod=998244353;

using namespace std;

LL n,m,k,len,cnt;
LL a[maxn],x[maxn],y[maxn],jc[maxn],f[maxn],g[maxn],w[maxn],prime[maxn],not_prime[maxn];
LL r[maxn];

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%mod;
    if (y%2) c=(c*x)%mod;
    return c;
}

LL c(LL n,LL m)
{
    if ((n<0) || (m<0) || (m>n)) return 0;
    return jc[n]*power(jc[m]*jc[n-m]%mod,mod-2)%mod;
}

void ntt(LL *a,LL f)
{   
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    }
    w[0]=1;
    for (LL i=2;i<=len;i*=2)
    {
        LL wn;
        if (f==1) wn=power(G,(mod-1)/i);
             else wn=power(G,(mod-1)-(mod-1)/i);
        for (LL j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];
        for (LL j=1;j<i/2;j+=2) w[j]=w[j-1]*wn%mod;
        for (LL j=0;j<len;j+=i)
        {
            for (LL k=0;k<i/2;k++)
            {
                LL u=a[j+k],v=(a[j+k+i/2]*w[k])%mod;
                a[j+k]=(u+v)%mod;
                a[j+k+i/2]=(u+mod-v)%mod;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
    {
        LL inv=power(len,mod-2)%mod;
        for (LL i=0;i<len;i++) a[i]=(a[i]*inv)%mod;
    }
}

void NTT(LL *a,LL *b,LL *c,LL n,LL m)
{   
    len=1;
    LL k=0;
    while (len<(n+m)) len*=2,k++;
    for (LL i=0;i<len;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<n) x[i]=a[i]; else x[i]=0;
        if (i<m) y[i]=b[i]; else y[i]=0;
    }   
    ntt(x,1); ntt(y,1);
    for (LL i=0;i<len;i++) c[i]=(x[i]*y[i])%mod;
    ntt(c,-1);
}

void getprime(LL n)
{
    not_prime[0]=not_prime[1]=1;
    for (LL i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!not_prime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
        }
        for (LL j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if (i*prime[j]>n) break;
            not_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int main()
{
    freopen("h.in","r",stdin);
    freopen("h.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
    jc[0]=1;    
    getprime(n);
    for (LL i=1;i<=n+m;i++) jc[i]=(jc[i-1]*(LL)i)%mod;      
    for (LL i=0;i<=m;i++)
    {
        f[i]=power(jc[i],mod-2)*c(n,k-i)%mod*(not_prime[k-i]==0)%mod;
        g[i]=power(jc[i],mod-2);
    }   
    NTT(f,g,f,m+1,m+1); 
    for (LL i=0;i<=m;i++) f[i]=f[i]*jc[i]%mod;  
    for (LL i=0;i<=m;i++) printf("%lld\n",f[i]*power(c(n+i,k),mod-2)%mod);
}