5858. 朝圣 (ntt)

最新推荐文章于 2018-09-08 22:59:32 发布

波波i

最新推荐文章于 2018-09-08 22:59:32 发布

阅读量450

点赞数

分类专栏：快速傅立叶变化计数文章标签：何嘉阳

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq872425710/article/details/82529358

版权

计数同时被 2 个专栏收录

5 篇文章

订阅专栏

快速傅立叶变化

3 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种计算在随机选取的水果中苹果数量为质数的概率的方法，使用了NTT（Number Theoretic Transform）进行高效计算。面对国王随机选择水果的问题，文章详细解释了如何将组合数分解，利用NTT加速计算过程，最终实现了对大量数据的有效处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

朝圣刚回来，国王就准备举办盛大的宴会，由于你很闲，所以你来帮国王筹备宴会。现在需要为宴会准备水果，由于你国物质匮乏，所以全国一共只有 n 个苹果，m 个梨。
由于国王具有 “精神错乱” 的特质，所以他将会从这 n + m 个水果中随机拿出 k 个，用于这次宴会。
你听说领主们都有一个癖好，如果宴会中的苹果的数量是一个质数，那么他们就会很高兴。但是因为国王是随机选的水果，所以你想知道苹果数量是质数的概率，对 998244353 取模。
负责收购梨的官员上周去小舅子家里了，所以现在还不能准确地知道有几个梨，不过你通过估计可以确定最多有 M 个梨，所以你需要对 m ∈ [0, M ] 都求出答案。

思路：

先推一波式子。
$f[i]=/c(n+i,k)*\sum_{j=1}^{i}c(n,j)*c(i,k-j)*[prime[j]]$
现在n^2的可以随时过了，也很容易想到fft，ntt啥的，考场上推式子没推出来，考完问了问大佬，原来要把组合数拆开,c(n,j)*i!/(k-j)!/(i-(k-j)),i!可以不用算，最后算，式子拆成,c(n,j)/(k-j)和1/(i-(k-j))，然后以(i-(k-j))为下标，就可以ntt了，结果就是[A*B]a[i]*i!/c(n+i,k)；

程序：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define N 400005
#define mo 998244353
#define _G 3
using namespace std;
LL n,m,k;
LL jc[N],ny[N],ans,rev[N],nn,lg,a[N],b[N],cnt;
bool h[N];

LL mul(LL x,LL y){
    if (y==1) return x;
    LL o=mul(x,y/2);
    o=(o*o)%mo;
    if (y&1) o=(o*x)%mo;
    return o;
}


LL c(LL x,LL y){
    if (x<y) return 0;
    return ((jc[x]*ny[x-y])%mo*ny[y])%mo;
}

void get_rev(LL n){
    for (LL i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}

void ntt(LL *a,LL n,LL k){
    for (LL i=1;i<n;i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (LL i=1;i<n;i<<=1){
        LL wn=mul(_G,(mo-1)/i/2);
        if (k==-1) wn=mul(_G,mo-1-(mo-1)/i/2);
        for (LL j=0;j<n;j+=(i<<1)){
            LL w=1;
            for(LL k=0;k<i;k++) {
                LL u=a[j+k];
                LL v=w*a[i+j+k]%mo;
                a[k+j]=(u+v)%mo;
                a[i+j+k]=(u+mo-v)%mo;
                w=w*wn%mo;
            }
        }
    }
    if (k==-1){
        LL t=mul(n,mo-2);
        for (LL i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*t%mo;
    }
}

int main(){
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    jc[0]=1; ny[0]=1; b[0]=1;
    for (LL i=1;i<=n+m;i++) jc[i]=(jc[i-1]*i)%mo;
    for (LL i=1;i<=n+m;i++) ny[i]=mul(jc[i],mo-2);
    for (LL i=1;i<=m;i++) b[i]=ny[i];
    for (LL i=2;i<=k;i++){
        if (h[i]) continue;
        a[k-i]=c(n,i)*ny[k-i]%mo;
        for (LL j=1;j<=k/i;j++) h[i*j]=1;
    }
    for (nn=1;nn<=n*2;nn<<=1,lg++);
    get_rev(nn);
    ntt(a,nn,1); ntt(b,nn,1);
    for (LL i=0;i<nn;i++) a[i]=(a[i]*b[i])%mo;
    ntt(a,nn,-1);
    for (LL i=0;i<=m;i++){
        printf("%lld\n",((a[i]*jc[i])%mo*mul(c(n+i,k),mo-2))%mo);
    }
}