洛谷 P4247 [清华集训]序列操作线段树

最新推荐文章于 2023-05-06 15:14:41 发布

原创最新推荐文章于 2023-05-06 15:14:41 发布 · 321 阅读

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本文介绍了一种处理区间操作和查询的问题，通过维护特定大小的组合来高效地更新区间内的数值，并支持对区间内选择特定数量元素乘积的求和进行查询。针对不同操作提供了详细的算法实现，包括区间加法、区间取反及合并区间。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

有一个长度为 $n$ 的序列，有三个操作：

I a b c表示将 $[a,b]$ 这一段区间的元素集体增加 $c$ ；
R a b表示将 $[a,b]$ 区间内所有元素变成相反数；
Q a b c表示询问 $[a,b]$ 这一段区间中选择 $c$ 个数相乘的所有方案的和 $mod\ 19940417$ 的值。
输入输出格式

输入格式：
第一行两个数 n, qn,q 表示序列长度和操作个数。

第二行 nn 个非负整数，表示序列。

接下来 qq 行每行输入一个操作I a b c或者R a b或者Q a b c，意义如题目描述。

输出格式：
对于每个询问，输出选出 c 个数相乘的所有方案的和 $mod\ 19940417$ 的值。

输入输出样例

输入样例#1：
5 5
1 2 3 4 5
I 2 3 1
Q 2 4 2
R 1 5
I 1 3 -1
Q 1 5 1
输出样例#1：
40
19940397
说明

样例说明：

做完第一个操作序列变为1 3 4 4 5。

第一次询问结果为 3×4+3×4+4×4=40 。

做完R操作变成-1 -3 -4 -4 -5。

做完I操作变为-2 -4 -5 -4 -5。

第二次询问结果为 −2−4−5−4−5=−20 。

数据范围：

对于100%的数据， $n≤50000,q≤50000$ ，初始序列的元素的绝对值 \leq 109≤109 ，保证 $[a,b]$ 是一个合法区间，I操作中 $\ ∣c∣≤10^9$ ，Q操作中 $1≤c≤min(b−a+1,20)$ 。

分析：首先因为查询 $c$ 很小，所以我们可以维护 $[0,20]$ 所有的 $c$ 。
区间加 $k$ 答案应该怎样修改呢？
对于一个长度为 $3$ 的序列 $[a_1,a_2,a_3]$ 会变为 $[a_1+k,a_2+k,a_3+k]$ 。所以这个序列新的值为， $a_1*a_2*a_3+k*(a_1*a_2+a_1*a_3+a_2*a_3)+k^2*(a_1+a_2+a_3)+k^3$ 。
观察可以得到，一个序列的新值等于其任意一个子序列的和* $k^{x}$ ，其中 $x$ 为原序列长-子序列长。那对于区间内所有的长度为 $i$ 序列，每一个长度为 $j(j<=i)$ 的序列都对该序列有贡献。假设区间长度为 $len$ ，区间 $c$ 个数相乘结果为 $f[c]$ ，长度为 $j$ 的序列可以通过在 $len-j$ 中选 $i-j$ 个数来贡献长度为 $i$ 的序列，因为每个长度为 $j$ 的贡献次数一样，所以直接可以用 $f[j]*\binom{len-j}{i-j}*k^{i-j}$ 来贡献 $i$ 。转移方程为，

f [i] = \sum_{j = 0}^{i} f [j] * (\binom{l e n - j}{i - j}) * k^{i - j}

$f[i]=\sum_{j=0}^{i}f[j]*\binom{len-j}{i-j}*k^{i-j}$
合并区间也就是左边选

ii $i$ 个数，右边选

j

$j$ 个数的和相乘，就是新区间

i+ji+j $i+j$ 个数的和。
区间取反会改变奇数

ii $i$ 的

f [i]

$f[i]$ ，暴力处理就可以了。
复杂度为

O(202∗nlogn)O(202∗nlogn) $O(20^2*nlogn)$

写完只会疯狂RE，对拍有没错，最后暴力开到50w就过了，我看标都是20w。。。

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#define LL long long

const int maxn=50007;
const LL mod=19940417;

using namespace std;

struct rec{
    LL f[21];
};

struct tree{
    rec ans;
    LL lazy;
    int rev;
}t[500007];

int a[maxn];
LL c[maxn][21];
LL power[21];
int n,test,x,y,z;
LL k;

rec merge(rec x,rec y)
{
    rec z;
    for (int i=0;i<=20;i++)
    {
        z.f[i]=0;
        for (int j=0;j<=i;j++)
        {
            z.f[i]=(z.f[i]+x.f[j]*y.f[i-j]%mod)%mod;
        }
    }
    return z;
}

void build(int p,int l,int r)
{
    if (l==r)
    {
        t[p].ans.f[0]=1;
        t[p].ans.f[1]=(a[l]%mod+mod)%mod;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    build(p*2,l,mid);
    build(p*2+1,mid+1,r);
    t[p].ans=merge(t[p*2].ans,t[p*2+1].ans);
}

void change(int p,int len,LL k)
{
    power[0]=1;
    for (int i=1;i<=20;i++) power[i]=(power[i-1]*k)%mod;
    for (int i=20;i>=0;i--)
    {
        for (int j=0;j<i;j++)
        {
            t[p].ans.f[i]=(t[p].ans.f[i]+t[p].ans.f[j]*power[i-j]%mod*c[len-j][i-j]%mod)%mod;
        }
    }
}

void cleanrev(int p)
{
    for (int i=0;i<=20;i++) if (i%2) t[p].ans.f[i]=(mod-t[p].ans.f[i])%mod;
}

void mark(int p,int l,int r)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (t[p].rev)
    {
        t[p*2].rev^=1;
        t[p*2].lazy=(mod-t[p*2].lazy)%mod;
        cleanrev(p*2);
        t[p*2+1].rev^=1;
        t[p*2+1].lazy=(mod-t[p*2+1].lazy)%mod;
        cleanrev(p*2+1);
        t[p].rev^=1;
    }
    if (t[p].lazy)
    {
        t[p*2].lazy=(t[p*2].lazy+t[p].lazy)%mod;
        t[p*2+1].lazy=(t[p*2+1].lazy+t[p].lazy)%mod;
        change(p*2,mid-l+1,t[p].lazy);
        change(p*2+1,r-mid,t[p].lazy);
        t[p].lazy=0;
    }
}

void ins(int p,int l,int r,int x,int y,LL k)
{
    if ((l==x) && (r==y))
    {
        t[p].lazy=(t[p].lazy+k)%mod;
        change(p,r-l+1,k);
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    mark(p,l,r);
    if (y<=mid) ins(p*2,l,mid,x,y,k);
    else if (x>mid) ins(p*2+1,mid+1,r,x,y,k);
    else
    {
        ins(p*2,l,mid,x,mid,k);
        ins(p*2+1,mid+1,r,mid+1,y,k);
    }
    t[p].ans=merge(t[p*2].ans,t[p*2+1].ans);
}

void rep(int p,int l,int r,int x,int y)
{
    if ((l==x) && (r==y))
    {
        t[p].rev^=1;
        cleanrev(p);
        LL now=(mod-t[p].lazy)%mod;
        t[p].lazy=now;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    mark(p,l,r);
    if (y<=mid) rep(p*2,l,mid,x,y);
    else if (x>mid) rep(p*2+1,mid+1,r,x,y);
    else
    {
        rep(p*2,l,mid,x,mid);
        rep(p*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
    }
    t[p].ans=merge(t[p*2].ans,t[p*2+1].ans);
}

rec query(int p,int l,int r,int x,int y)
{
    if ((l==x) && (r==y)) return t[p].ans;
    int mid=(l+r)/2;
    mark(p,l,r);
    if (y<=mid) return query(p*2,l,mid,x,y);
    else if (x>mid) return query(p*2+1,mid+1,r,x,y);
    else return merge(query(p*2,l,mid,x,mid),query(p*2+1,mid+1,r,mid+1,y));
}

int main()
{
//  freopen("data.in","r",stdin);
//  freopen("mypout.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&test);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    c[0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for (int j=1;j<=20;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
    }
    build(1,1,n);
    char s[10]; 
    for (int i=1;i<=test;i++)
    {
        scanf("%s",s);
        if (s[0]=='I')
        {                       
            scanf("%d%d%lld",&x,&y,&k);
            k=(k%mod+mod)%mod;          
            ins(1,1,n,x,y,k);
        }
        if (s[0]=='R')
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            rep(1,1,n,x,y);
        }
        if (s[0]=='Q')
        {           
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            rec d=query(1,1,n,x,y);
            printf("%lld\n",d.f[z]);
        }
    }    
}