洛谷 P1919 【模板】A*B Problem升级版 fft

最新推荐文章于 2021-09-11 09:19:23 发布

Amber_lylovely

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分类专栏： fft-ntt

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本文介绍了一种利用快速傅立叶变换（FFT）解决大数乘法问题的方法。通过将大数转换为多项式，并利用FFT进行高效计算，解决了传统方法在处理超长整数相乘时效率低下的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

给出两个n位10进制整数x和y，你需要计算x*y。

输入输出格式

输入格式：
第一行一个正整数n。第二行描述一个位数为n的正整数x。第三行描述一个位数为n的正整数y。

输出格式：
输出一行，即x*y的结果。（注意判断前导0）

输入输出样例

输入样例#1：
1
3
4
输出样例#1：
12
说明

数据范围：

n<=60000

来源：bzoj2179

分析：可以把一个正整数看做是一个多项式，其中x=10（其实也可以是10^k），然后跑fft，跑出来之后好进行进位处理。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>

const int maxn=240007;
const double pi=acos(-1);

using namespace std;

struct rec{
    double x,y;
};

rec operator + (rec a,rec b) {return (rec){a.x+b.x,a.y+b.y};}
rec operator - (rec a,rec b) {return (rec){a.x-b.x,a.y-b.y};}
rec operator * (rec a,rec b) {return (rec){a.x*b.x-a.y*b.y,a.y*b.x+a.x*b.y};}

rec a[maxn],b[maxn];
char s[maxn];
int r[maxn],ans[maxn];
int n,l,p;

void fft(rec *a,int f)
{
    for (int i=0;i<l;i++)
    {
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    }
    for (int i=2;i<=l;i*=2)
    {
        rec wn=(rec){cos(2*pi/i),f*sin(2*pi/i)};
        for (int j=0;j<l;j+=i)
        {
            rec w=(rec){1,0};
            for (int k=0;k<i/2;k++)
            {
                rec u=a[j+k],v=w*a[j+k+i/2];
                a[j+k]=u+v;
                a[j+k+i/2]=u-v;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s);
    for (int i=0;i<n;i++) a[i].x=s[n-i-1]-'0';
    scanf("%s",s);
    for (int i=0;i<n;i++) b[i].x=s[n-i-1]-'0'; 
    l=1;p=0;
    while (l<(n*2)) l*=2,p++;
    for (int i=0;i<l;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));    
    fft(a,1);
    fft(b,1);
    for (int i=0;i<l;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
    int num;
    for (int i=0;i<l+3;i++)
    {
        ans[i]=ans[i]+trunc(a[i].x/l+0.233);
        if (ans[i]>0) num=i;
        ans[i+1]=ans[i]/10;
        ans[i]=ans[i]%10;
    }   
    for (int i=num;i>=0;i--) printf("%d",ans[i]);
}