洛谷 P4512 【模板】多项式除法 ntt

题目描述

给定一个 $n$ 次多项式 $F(x)$ 和一个 $m$ 次多项式 $G(x)$ ，请求出多项式 $Q(x)$，$R(x)$ ，满足以下条件：

$Q(x)$次数为 $n−m$，$R(x)$次数小于$m$
$F(x) = Q(x) * G(x) + R(x)$
所有的运算在模 $998244353$ 意义下进行。

输入输出格式

输入格式：
第一行两个整数 $n$，$m$，意义如上。
第二行 $n+1$ 个整数，从低到高表示 $F(x)$ 的各个系数。
第三行 $m+1$ 个整数，从低到高表示 $G(x)$ 的各个系数。

输出格式：
第一行 $n−m+1$ 个整数，从低到高表示 $Q(x)$ 的各个系数。
第二行 $m$ 个整数，从低到高表示 $R(x)$ 的各个系数。
如果 $R(x)$ 不足 $m−1$ 次，多余的项系数补 $0$ 。

输入输出样例

输入样例#1：
5 1
1 9 2 6 0 8
1 7
输出样例#1：
237340659 335104102 649004347 448191342 855638018
760903695
说明
对于所有数据，$1≤m<n≤10^5$，给出的系数均属于$[0, 998244353) \cap \mathbb{Z}$。

分析：
我们设$degA=n$，$degB=m$，$degC=n-m+1$，$degD<m$。
设一个$n$次多项式$A$的变换为$x^nA(\frac{1}{x})$，其实就是把$A$翻转。
因为$A(x)=B(x)*C(x)+D(x)$，有

$$A(\frac{1}{x})=B(\frac{1}{x})*C(\frac{1}{x})+D(\frac{1}{x})$$
两边同时乘$x^n$，
$$x^nA(\frac{1}{x})=x^mB(\frac{1}{x})*x^{n-m}C(\frac{1}{x})+x^{n-m+1}*x^{m-1}D(\frac{1}{x})$$
那么如果我们在$mod\ x^{n-m+1}$意义下跑，那么$D$就没掉了，即
$$x^nA(\frac{1}{x})≡x^mB(\frac{1}{x})*x^{n-m}C(\frac{1}{x})\ (mod\ x^{n-m+1})$$
$$x^{n-m}C(\frac{1}{x})≡\frac{A'(x)}{B'(x)}\ (mod\ x^{n-m+1})$$
一个多项式求逆后就可以得到$B'^{-1}(x)$，卷上$A'(x)$就可以得到$C'(x)$。
$D(x)=A(x)-B(x)*C(x)$。就完成了。

代码：

// luogu-judger-enable-o2
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define LL long long

const LL G=3;
const int maxn=3e5+7;
const LL mod=998244353;

using namespace std;

int n,m,len;
LL f[maxn],g[maxn],inv[maxn],c[maxn],r[maxn],x[maxn],y[maxn],w[maxn];

LL power(LL x,LL y)
{
    if (y==1) return x;
    LL c=power(x,y/2);
    c=(c*c)%mod;
    if (y%2) c=(c*x)%mod;
    return c;
}

void ntt(LL *a,LL f)
{
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
    }   
    w[0]=1;
    for (LL i=2;i<=len;i*=2)
    {
        LL wn;
        if (f==1) wn=power(G,(mod-1)/i);
             else wn=power(G,(mod-1)-(mod-1)/i);
        for (LL j=i/2;j>=0;j-=2) w[j]=w[j/2];
        for (LL j=1;j<i/2;j+=2) w[j]=(w[j-1]*wn)%mod;
        for (LL j=0;j<len;j+=i)
        {
            for (LL k=0;k<i/2;k++)
            {
                LL u=a[j+k],v=(a[j+k+i/2]*w[k])%mod;
                a[j+k]=(u+v)%mod;
                a[j+k+i/2]=(u-v+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if (f==-1)
    {
        LL inv=power(len,mod-2);
        for (LL i=0;i<len;i++) a[i]=(a[i]*inv)%mod;
    }
}

void init(LL len)
{
    LL k=trunc(log(len+0.5)/log(2));
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));
    }
}


void NTT(LL *a,LL *b,LL *c,LL n,LL m)
{   
    len=1;
    while (len<=(n+m)) len*=2;
    init(len);
    for (LL i=0;i<len;i++)
    {
        if (i<n) x[i]=a[i]; else x[i]=0;
        if (i<m) y[i]=b[i]; else y[i]=0;
    }   
    ntt(x,1); ntt(y,1);
    for (LL i=0;i<len;i++) c[i]=x[i]*y[i]%mod;
    ntt(c,-1);
}

void getinv(LL *a,LL *b,int deg)
{
    if (deg==1)
    {       
        b[0]=power(a[0],mod-2);
        return;     
    }
    LL d=(deg+1)/2;
    getinv(a,b,d);   
    NTT(a,b,c,m+1,d);
    c[0]=(2+mod-c[0])%mod;
    for (int i=1;i<=m+d;i++) c[i]=(mod-c[i])%mod;
    NTT(c,b,b,m+d+1,d);
    for (int i=deg;i<len;i++) b[i]=0;
}


int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0;i<=n;i++) scanf("%lld",&f[i]);
    for (int i=0;i<=m;i++) scanf("%lld",&g[i]);
    reverse(f,f+n+1);
    reverse(g,g+m+1);   
    getinv(g,inv,n-m+1);
    NTT(f,inv,c,n+1,n-m+1);
    reverse(c,c+n-m+1);
    for (int i=0;i<=n-m;i++) printf("%lld ",c[i]);
    printf("\n");
    reverse(f,f+n+1);
    reverse(g,g+m+1);
    NTT(g,c,c,m+1,n-m+1);
    for (int i=0;i<m;i++) printf("%lld ",(f[i]-c[i]+mod)%mod);
}