POJ3904 Sky Code【容斥原理】

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本文介绍了解决POJ 3904问题的方法，该问题要求从一组整数中选择四个数，使得这四个数的公约数为1。通过反向思考，作者提出了使用质因数分解和组合数学来解决这个问题，并提供了AC代码。文章详细解释了如何应用容斥原理和组合数计算来找出符合条件的四元组数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：

http://poj.org/problem?id=3904

题目大意：

给你N个整数，从这N个数中选择4个数，使得这四个数的公约数为1。求满足条件的

四元组个数。

解题思路：

四个数的公约数为1，并不代表四个数两两互质。比如(2，3，4，5)公约数为1，但是

2和4并不互质。从反面考虑，先求出四个数公约数不为1的情况个数，用总的方案个数

减去四个数公约数不为1的情况个数就是所求。

求四个数公约数不为1的情况个数，需要将N个数每个数质因数分解，纪录下所有不同

的素因子所能组成的因子(就是4个数的公约数)，并统计构成每种因子的素因子个数，

和因子总数。然后再计算组合数。比如说因子2的个数为a，则四个数公约数为2的个数

为C(a，4)，因子3的个数为b，则四个数公约数为3的个数为C(b，4)，因子6(2*3)的个

数为c，则四个数公约数的个数为C(c，4)。

但是公约数为2的情况中或者公约数为3的情况中可能包括公约数为6的情况，相当于几

个集合求并集，这就需要容斥定理来做。具体参考代码。

参考博文：http://blog.youkuaiyun.com/qiqijianglu/article/details/8009108

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL __int64
using namespace std;

LL C(LL N) //计算 C(N,4)
{
    return N * (N-1) * (N-2) * (N-3) / 24;
}

LL Factor[10010],ct,Count[10010],Num[10010];
//Count[]纪录当前因子的个数，Num[]纪录当前因子是由几个素因子组成(用于容斥定理的奇加偶减)
void Divide(LL N)   //将N分解质因数
{
    ct = 0;
    for(int i = 2; i <= sqrt(N*1.0); ++i)
    {
        if(N % i == 0)
        {
            Factor[ct++] = i;
            while(N % i == 0)
                N /= i;
        }
    }
    if(N != 1)
        Factor[ct++] = N;
}

void Solve(LL N)    //二进制实现容斥原理
{
    Divide(N);
    for(int i = 1; i < (1 << ct); ++i)
    {
        LL tmp = 1;
        LL odd = 0;
        for(int j = 0; j < ct; ++j)
        {
            if((1 << j) & i)
            {
                odd++;
                tmp *= Factor[j];
            }
        }
        Count[tmp]++;
        Num[tmp] = odd;
    }
}

int main()
{
    LL N,M;
    while(~scanf("%I64d",&N))
    {
        memset(Count,0,sizeof(Count));
        for(int i = 0; i < N; ++i)
        {
            scanf("%I64d",&M);
            Solve(M);
        }
        LL ans = 0;
        for(int i = 0; i <= 10000; ++i) //容斥
        {
            if(Count[i])
            {
                if(Num[i] & 1)
                    ans += C(Count[i]);
                else
                    ans -= C(Count[i]);
            }
        }
        printf("%I64d\n",C(N) - ans);   //结果为C(N,4) - ans
    }

    return 0;
}