容斥原理、鸽巢原理快速入门

一、容斥定理

基本描述

在计数时，必须不重不漏。为了使得重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无重复也无遗漏，这种计数的方法称为容斥原理。

公式表述

公式的解释：
目的是求解m个集合的并集，首先将m个集合相加，减去集合间两两相交的部分，加上三三相交的部分，再减去四四相交的部分……一直到m个集合相交的部分，当m为偶数时，最后一项的符号为负数，否则为正数。

举例

1. 当存在两个集合A与B，容斥关系公式为:A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |
2. 当存在三个集合A、B、C，容斥关系公式为：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

练习

1. UVA 11806 题解
2. UVA 10325 题解
3. HDU 1796