容斥原理、鸽巢原理快速入门

湘南学院第四届程序设计大赛 (题解) 现在waku他已经挖到了n种不同的宝石,每种宝石各有ai个,现在waku在一直合成他的泰拉马桶直到只剩下一种宝石或没有宝石为止,需要你求出,每一种颜色的宝石是否都可以成为最后被剩下的那种颜色。(本题包含多组输入)S个鸽子在一个队列中,相同的鸽子连续在一起排放,将鸽子顺序塞入鸽巢之中,每个鸽巢可以想象成一个链表的表头,S个鸽子依次出队,分别在每个表头下边分配一个,直至S个鸽子分配完全。题目大意:一个数字n表示n个月饼,接下来n个数字表示每个月饼的质量,求分配成两堆,分配最均匀的情况下这两堆月饼的质量。 阅读详情

一、容斥定理

基本描述

在计数时,必须不重不漏。为了使得重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无重复也无遗漏,这种计数的方法称为容斥原理。

公式表述

image

公式的解释:
目的是求解m个集合的并集,首先将m个集合相加,减去集合间两两相交的部分,加上三三相交的部分,再减去四四相交的部分……一直到m个集合相交的部分,当m为偶数时,最后一项的符号为负数,否则为正数。

举例

  1. 当存在两个集合A与B,容斥关系公式为:A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |
  2. 当存在三个集合A、B、C,容斥关系公式为:|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

练习

  1. UVA 11806 题解
  2. UVA 10325 题解
  3. HDU 1796
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