程序员充电站（itcharge）

题目大意：给你一个素数 C(1 <= C <= 2*10^5) 和整数 k1、b1、k2(1 <= k1，k2，b1 <= 10^9)。找出有多少个(a，b)满足 a^(k1*n+b1) + b^(k2*n-k2+1) ≡ 0(mod C)(n = 1，2，3，…)如果找不到则输出 -1。解题思路：先来看同余的几个基本定理。1. a ≡ b(mod m)，当且仅当 m | (a-b)。2. a ≡ b(mod m)，当且仅当存在整数 k，使得 a = b + k*m。3. 同余关系是等价关

LL QuickMod(LL a,LL b,LL m) //a^b % m{ LL ans = 1%m; a %= m; while(b > 0) { if(b&1) ans = ans*a%m; a = a*a%m; b >>= 1; } return ans;}

直接欧拉函数int Euler(int n) { int ret = n; for(int i = 2; i*i <= n; ++i) { if(n % i == 0) { n /= i; ret = ret - ret/i; }

POJ1006_Biorhythms【中国剩余定理】

题目大意：求解出组合数C(n，k)的约数个数。思路：数据中的n和k值都比较大，直接求解显然不可以。求约数个数，要先进行素因子分解。C(n，k) = n!/(k!*(n-k)!)。n范围小于等于431，可以先筛选出431以内的素数，用数组Primer[]来存储素数。对每个阶乘进行素因子分解，用数组jie[i][j]来表示阶乘i进行分解式第j个素数的幂。然后求组合数的素因子分解，利用公式得到因子个数。

题目大意：给你一个数N，问是否存在L的倍数M，且数M各个位上都由8组成，如果存在多个M，输出最小的那个，并输出M由几个8组成。思路：设长度为x，由题意可知，长度为x的由8组成的数可以被L整除。形式为88…88，由于10^x-1是长度为x、全部由9组成的数，则(10^x-1)/9*8 = L*k(k倍)，即(10^x-1)*8= 9*L*k。则(10^x-1)*8/gcd(8，L) = 9*L*k/gcd(8，L)令p = 8/gcd(8，L) q = 9*L/gcd(8，L)，则(10^x

题目大意：N个人在一起玩游戏，每个人默写两个数字Ai、Bi，在同一个时间公开给其他玩家看。游戏的目的是为了看谁能够在最快的时间求出所有的Ai^Bi的和对M取模的值。那么问题来了：你能够快速算出(A1B1+A2B2+ ... +AHBH)mod M 的值吗？思路：用二分整数快速幂算法计算出每一个Ai^Bi，然后依次相加取模。

题目大意：已知公式A^x mod C= B，以及A、C、B的值，求解x的值为多少。思路：典型的求解方程A^x = B(mod C)，直接模板解决。

题目大意：有一颗树，每个节点有K个儿子，那么问题来了：能否算出这棵树的最小深度D，使得这个深度的节点数对P取模的结果为N吗？思路：转换一下题目含义，就变成了解K^i = N(mod P)，典型的A^i = B(mod C)问题，此题B的范围明显在[0，C-1]之间，若不在此区间，方程显然没解。

题目大意：已知整数P、B、N满足公式B^i = N(mod P)，求i的值是多少。思路：典型的解高次同余方程A^x = B(mod C)，直接套模板解决。注意输入顺序：C A B

题目大意：给你一个整数N，求范围小于N中的整数中，与N的最大公约数大于1的整数的个数。思路：典型的欧拉函数变形。欧拉函数φ(N)是用来求小于N的整数中，与N的最大公约数为1的数的个数。那么此题的答案ans = N - φ(N) - 1。

题目大意：Kiki有X个硬币，她用不同的方式数了N次，每次她把硬币分成大小相等的组，记录每次一组硬币的个数Mi和数完最后剩余的硬币数Ai。那么问题来了：总共有多少枚硬币？思路：典型的一元线性同余方程组X = Ai(mod Mi)求解。题目要求输出最小正整数解，则如果求得同余方程组的解为0，那么答案就是所有Mi的最小公倍数。

题目大意：RSA是个有名的公匙密码系统。在这个系统中，每个参与者有一个只能自己知道的私匙和一个每个人都知道的公匙。为了安全地把信息传递给对方，应该用公匙对信息进行加密，对方用自己的私匙进行解密。对RSA系统的描述如下：首先，选择两个大素数P、Q，计算N = P * Q。然后，选择一个正整数E作为加密密匙，令T = (p-1)*(q-1)，且gcd(E，T) = 1。最后，计算解密密匙D，使得(E * D) mod T = 1，这里D是E模T的逆元。公匙表示为{E，N}，私匙表示为{D，N}，P

题目大意：RSA是个很强大的加密数据的工具，对RSA系统的描述如下：选择两个大素数p、q，计算n = p * q，F(n) = (p-1)*(q-1)，选择一个整数e，使得gcd(e，F(n)) = 1，e是公匙，计算d使得d * e mod F(n) = 1 mod F(n)，d是私匙。加密数据的方法为 C = E(m) = m^e mod n解密数据的方法为 M = D(c) = c^d mod n其中，c是密文中字母的ASCII的值；m是明文中字母的ASCII的值。现在问题

题目大意：求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。思路：先求出数组b[]中所有数的最小公倍数lcm，再求解出该一元线性同余方程组在lcm范围内的解为a，题目要求解x是小于等于N的正整数，则可列不等式：a + lcm * x <= N。那么，如果a = 0，则答案为x-1，如果a != 0，则答案为x。

题目大意：古罗马帝王的保密服务部门的保密方法是替换和重新排列。替换方法是将出现的字符替换成其他的字符。如将'A'替换成'Z'，将'Z'替换成'A'。排列方法是改变原来单词中字母的顺序。例如将顺序变为<2,1,5,4,3,7,6,10,9,8>。应用到字符串"VICTORIOUS"上，则可以得到"IVOTCIRSUO"。单用一种解密方法是不安全的，只有将两种方法结合起来才安全。那么问题来了：给你一个原文字符串和加密字符串，问是否能通过这两种加密方法结合，从而由原文信息得到加密信息。如果能则输出"

题目大意：高级加密标准需要用到三个整数k1、k2、k3，然后把26个英文字母分为三组，字符[a~i]为一组，字符[j~r]是第二组，其他字符[s~z]和下划线_组成第三组。在信息中属于每组的字符，在加密的时候，都被循环的向左移ki个位置。每组的字符只在自己组中的字符构成的字符串中移动。现在给你加密过后的消息，请输出原文信息。思路：解密的过程其实就是信息中属于每组的字符，都循环的向右移ki个位置。用字符数组s[]来存储加密信息，s1[]来保存解密后的信息。统计每组字符的个数numi，如果不为0

题目大意：给定一个六位数，选择中间四位数字，求它的平方，只保留后六位数字。然后再选择新六位数字中间的四位数字，求这四位数字的平方，再只保留后六位数字。这样循环下去，直到出现重复的六位数字为止。输出第一次出现循环的六位数字，循环长度和循环前总共执行的操作步数。思路：直接模拟就可以了，用一个大于1000000的数组来存储六位数字，初始化为-1，出现六位数字，就将相应位置执行的操作次数，只要在相应位置上找到大于等于0的，就说明之前已经出现过了，然后输出结果。

题目大意：对于两个自然数A和B，令s = A^B所有约数和，计算s%9901的结果是多少思路：小優的博客对这道题写的非常好，参考博文：http://blog.youkuaiyun.com/lyy289065406/article/details/6648539对A进行素因子分解，A = p1^k1 * p2^k2 * … * pm^km，则A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) * … *pm^(km*B)。利用乘性函数的性质：所偶因子和为 s = (1 + p1 + p1^2 + …

扩展欧几里得，求一组解x，y，使得gcd(a，b) = d = a * x + b * y扩展欧几里得，求所有解x，y，使得c = a * x + b * y扩展欧几里得，求a关于n的逆元a^-1，使得a * a^-1 ≡ 1(mod n)扩展欧几里得，求解x，满足同余方程组x ≡ Ri(mod Ai)扩展欧几里得，求解x，满足高次同余方程A^x ≡ B(mod C)

#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>using namespace std;const int MAXN = 1010;int GCD(int a,int b){ if(b == 0) return a; return GCD(b,a%b);}int A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN*10];int ma

题目链接：http://poj.org/problem?id=3126题目大意：给你两个有四位数字的素数 A、B，问：每次只改变一个数字，且改变前后的数都是素数，那么从 A 变到 B，最少需要多少次。解题思路：用 BFS 来做。判断素数用筛法求素数打表预处理一下，不过注意 1000 以下的数要当非素数看待。每次改变一位数字，并且如果改变后的数仍为

题目大意：给你三个整数 N、M、P，求组合数 C(N+M-2，M-1) % P。解题思路：将阶乘表示为大整数分解的形式，将各个素因子按素因子的幂相乘起来就是所求答案(记得要对 P 取余)。

题目大意：给你三个整数 N、M、D。使得从 N 到 M 的自然数按要求排列后，相邻且连续的D 个数内的自然数和为非素数。找到字典序最小的排列并输出，如果找不到则输出"No anti-prime sequence exists."。解题思路：用深搜来做，一步一步的确定第 Cnt 个数，直到找到 M-N+1 个数，并满足要求为止。判断相邻数的和是否为非素数可以用筛法求素数事先预处理一下。

POJ1365_Prime Land【质因数分解】【素数】【水题】

题目大意：给你 T 个组合数 C(N，K)，求这 T 个组合数的最大公约数。解题思路：将组合数用 素因子分解的形式来表示。然后求出每个素因子在公约数中最小的阶，相乘得到答案。

题目大意：输入一个有理数，形式为分数形式p/q，令{x}为该有理数二进制形式的小数部分，且{x}具有循环性，{x} = 0.A1A2A3…Ar(Ar+1Ar+2…Ar+s)^w。循环从r+1位开始，循环节为s。现在称x1 = A1A2A3…Ar为{x}的循环前缀，x2 = Ar+1Ar+2…Ar+s为{x}的循环部分。现在让循环前缀的长度和循环部分的长度尽可能小。求最小循环部分的起始位置以及最小的循环长度。例如：1/10 = 0.0001100110011(00110011)^w，0001100

POJ2478_Farey Sequence【快速求欧拉函数】题目大意：给你一个数n，对于0 < a < b <= n，求真分数a/b的个数思路：因为a/b为真分数，所以a和b互质。求真分数a/b的个数。其实就是求0 < i <= n中，小于i的正整数中，有多少个与i互质的数。累加起来就是真分数a/b的个数。其实就是欧拉函数因为n的规模为10^6，可用快速求欧拉函数的方法求得（类似于筛法求素数）。根据推论：设P是素数， 若p是x的约数，则E(x*p)=E(x)*p. 若p不是x的约数

题目大意：给你一个数N，求出A、B分别为 1*1、1*2、…、1*N、2*2、2*3、…、2*N、……、N*N 中 A*B/gcd(A/K，B/K) 的值为多少。解题思路：设当 N = 1 时，ans[1] = 1*1/gcd(1，1) = 1。N = 2 时，ans[2] = 1*1/gcd(1，1) + 1*2/gcd(1，2) + 2*2/gcd(2，2) + 2*2/gcd(1，1) = 9。…… 可看出：ans[N] = ans[N-1] + Σ N*i/gcd(N/K，i/K)

题目大意：有 N 种装饰物，M 个已知条件，每个已知条件描述为：p s ta1，a2，…，ap (1 <= ai <= N)第一行表示从星期 s 到星期 t 一共生产了 p 件装饰物(工作天数可为 t - s + 1 + 7*x，因为可能生产不只一周)。规定每件装饰物至少生产 3 天，最多生产 9天。问：每种装饰物需要生产的天数。如果没有解，则输出"Inconsistent data."，如果有多解，则输出"Multiple solutions."如果有唯一解，则输出每种装饰

题目大意：给定 N 种颜色的珠子，每种颜色珠子的个数均不限，将这些珠子做成长度为 N 的项链。问能做成多少种不重复的项链，最后结果对 P 取模。并且两条项链相同，当且仅当两条项链通过旋转后能重合在一起，且对应珠子的颜色相同。解题思路：Polya定理的应用。先来看Polya定理。Polya定理：设 G = {a1，a2，…，ag}是 N 个对象的置换群，用 M 种颜色给这 N 个对象着色，则不同的着色 方案数为： |G|^(-1) * {M^c(a1) +

题目大意：给一个整数N，求1~N中与N互质的数的4次方的和。解题思路：题目简单，过程有点复杂。理清思路就简单了。利用公式1^4 + 2^4 + … + n^4 = n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n^2+3*n-1)/30，可以求出1^4 + 2^4 + … + n^4，除以30可以先求出30模M的逆元，然后将上式中除以30改为乘以30的逆元。再来求与n不互质的数的4次方和。将n质因数分解为 n = p1^a1* p2^a2 * … * pn^an(其中p1、p2为质数)。这样不互

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695题目大意：给你5个整数a、b、c、d、k，在区间[a，b]中选一个数x，在区间[c，d]中选一个数y，使得x和y的公约数为k，即gcd(x，y) = k。现在问题来了：这样的整数对共有多少对。思路：题目假定a = c = 1，那么区间就变为了[1，b]和[1，d...

题目大意：给一个区间[a，b]，从区间[a，b]中找出共有多少个数是与n互质的。思路：欧拉函数得到的是小于n与n互质的个数，这里是个区间。由于区间较大，不可能对[a，b]进行遍历，考虑计算区间[1，a-1]中与n互质的个数num1，[1，b]中与n互质的个数num2，最终结果就是两者相减的结果。现在考虑如何计算区间[1，m]中n互质的个数num，num等于 (m - 与n不互质的个数)。与n不互质的数就是[1，m]中n的素因子的倍数。例如m = 12，n = 30的情况。30的素因子数为

题目大意：给一个含有N*M个点的矩阵，左下角的点为(1，1)，右上角的点为(N，M)，一个人站在(1，1)点看这些点，在一条直线上，他只能看到最前边的点，后边的点都被挡住看不到了。那么问题来了：这个人总共能看到多少个点？思路：发现一条线上的点，斜率都是一样的，后边的点都是最前边能看到点的倍数，能被看到的点都是横纵坐标公约数为1的点，即gcd(x，y) = 1，如果有一个点(x，y)，有一个公约数d，即gcd(x，y) = d，那么，它就被前边(x/d，y/d)的点挡住了。问题就变求N*M个点

功能：求a和b的最大公约数传入参数：整数a、整数b传出参数：a和b的最大公约数算法1：欧几里得算法时间复杂度：O(n)实现原理：设两数为a、b(a>b），求a和b最大公约数(a，b）的步骤如下：用b除a，得a÷b=q......r1(0≤r1）。若r1=0，则（a，b)=b；若r1≠0，则再用r1除b，得b÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零除数即为（a，b）。算法2：s

试除法整数分解 筛法整数分解 PollardRho大整数分解【模板】

题目大意：凯撒大帝的加密方法是：将原文的每个字母分别用该字母后边的第5个字母替换。现在给你加密后的信息，问信息原文是什么。思路：将加密消息的ASCII码值减去5，低于'A'字符的，ASCII码再加上26。直接输出即可。

题目大意：给一个正整数n，求Σgcd(i，n)，(1 <= i <= n)。思路：如果m，n互质，则gcd(i，m*n) = gcd(i，m) * gcd(i，n)，所以gcd是乘性函数。因为乘性函数的和函数也是乘性函数，所以Σgcd(i，N)也是乘性函数。首先考虑gcd(x，n) = 1，这样的数和刚好为欧拉函数之和sum( φ(n))，现在考虑gcd(x，n) = p的情况，因为gcd(x/p,n/p) = 1，就变成了欧拉函数之和sum(φ(n/p))，所以gcd(x，n) = p，这种

题目大意：给你一个区间【L,U】,求出从L到U之间素数序列中，连续两个素数差值最大的最小的两对素数对，但其中(1<=L< U<=2,147,483,647)，但区间【L，U】距离不超过1000000思路：因为L，U的值太大了，普通素性判断和素数筛法都不可行，所以可以考虑先筛选一次，筛出50000以内的素数，然后用50000以内的素数再次筛选出区间【L，U】的素数。第一次素数筛法比较简单，主要是第二次筛法，分别判断【L,U】中每个数是50000以内的素数的多少倍，若为1倍，则从2倍开始筛选。若不为