勾股数组

勾股定理:

任意一个三角形的两条直角边边长的平方和等于斜边的平方用公式表示 a^2 + b^2 = c ^2

这里有几个概念

1.本原勾股数组：是一个三元组(a,b,c)，其中a,b,c没有公因子且满足a^2 + b^2 = c ^2

2.勾股数组定理：a = st,b = (s^2 - t^2) / 2, c = (s^2 + t^2 ) / 2;

证明：

因为 a^2 + b^2 = c ^2

所以 a^2 = c^2 - b^2  

即 a^2 = (c - b)( c + b )

假设 c + b = s^2    c - b =  t^2

a^2 =  s^2 * t^2   a = st

由   c + b = s^2    c - b =  t^2 消元得 b = (s^2 - t^2) / 2, c = (s^2 + t^2 ) / 2

有趣的性质：

1.a,b,奇偶性不同,且c总为奇数

2.a,b,或c为3,4,5的倍数

证明为3的倍数

假设A²+B²=C²，A B C均为整数；
并且假设C B A都不能被3整除（不然就已经满足题意了）；
则令C＝3P＋1（或者2） ，B＝3Q＋1（或者2），A＝3M＋1（或2），M，P，Q均为整数；
得A²＝C²－B²＝（C－B）（C＋B）；
若C和B在上式里面加的都是1或者2，则C－B＝3（P－Q），为3的倍数；
若C和B在上式里面一个加1，一个加2，则C＋B＝3（P＋Q＋1），为3的倍数；
而且另外一个因式为整数，因此A²可以被3整除------这个结论是关键！
而另外一方面A²＝（3M＋1）²＝9M²＋6M＋1＝3（3M²+2M）+1，不能被3整除，矛盾（若A=3M+2同过程可证）。
由以上矛盾可知假设是不成立的，因此 A B C至少有一个为3的倍数