本原勾股数组（数论日常1）

最新推荐文章于 2024-05-05 16:53:33 发布

原创最新推荐文章于 2024-05-05 16:53:33 发布 · 1.3k 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

知识向同时被 2 个专栏收录

6 篇文章

订阅专栏

算法原理

5 篇文章

订阅专栏

本文详细解析了本原勾股数组的构造方法及其背后的数学原理，通过严谨的数学证明，揭示了勾股定理在数论领域的应用。文章首先介绍了本原勾股数组的基本概念，随后给出了构造本原勾股数组的具体公式，并通过正反两方面的证明，确保了公式的正确性和适用性。

本原勾股数组

本原勾股数组（简称PPT）是一个三元组（a,b,c），其中a，b，c没有公因数，且满足

$a^2+b^2=c^2$

下面的定理可以求它的所有解。

勾股数组定理

每个本原勾股数组都可以由以下公式得出：
$a=st，b=s2−t22，c=s2+t22a=st，b=\frac{s^2-t^2}{2}，c=\frac{s^2+t^2}{2}$

其中 $s>t⩾1.s>t\geqslant1.$

证明

证明分两部分，一是正证（推出定理），二是反证（定理反推）。

（一）正证

从公式 $a^2+b^2=c^2$ 可知，a与b的奇偶性不同且c为奇数。（通过假设排除可得）

通过因式分解，我们可以得到：
$a^2=(c-b)(c+b)$

（实际列举时发现（c-b）和（c+b）都是平方数，那如何证明呢？）

首先可以证明（c-b）和（c+b）都没有公因数。

证明如下：
假设d是（c-b）和（c+b）的公因数，则
d|(c-b)+(c+b)
d|(c-b)-(c+b)
化简如下:
d|2c            
d|2b
根据条件可知c和b没有公因数，所以d=1/2
又因为d|a^2  所以d=1
证毕。

其次，通过素数唯一分解定理可知

对于 $a^2=(c-b)(c+b)$ 来说，只有当 $c - b$ 和 $c + b$ 本身都是平方数时，该式才能成立。

所以可以记成： $c-b=s^2$ ， $c+b=t^2$

整理后可得：
$a=st，b=s2−t22，c=s2+t22a=st，b=\frac{s^2-t^2}{2}，c=\frac{s^2+t^2}{2}$

其中 $s>t⩾1s>t\geqslant1$ 且 $g c d (s, t) = 1$

(二)反证

首先，通过代数运算可得:
$(st)2+(s2−t22)2=(s2+t22)2(st)^2+(\frac{s^2-t^2}{2})^2=(\frac{s^2+t^2}{2})^2$

然后还要证明 $(a, b, c)$ 无公因数

通过 $(s, t)$ 无公因数这个条件，分别用反证法证明 $(st,s2−t22)(st,\frac{s^2-t^2}{2})$ $(st,s2+t22)(st,\frac{s^2+t^2}{2})$ $(s2−t22,s2+t22)(\frac{s^2-t^2}{2},\frac{s^2+t^2}{2})$ 都没有公因数即可。
（自己写的太冗余了就不放出来了- -）