15、状态空间中可观测性评估：线性与非线性系统的深入解析

状态空间中可观测性评估：线性与非线性系统的深入解析

1. 线性观测器设计

在状态空间模型可观测的情况下，能够设计出可计算当前状态值的观测器。我们用 $\hat{\mathbf{x}}(t)$ 表示“估计”状态向量，以区别于真实状态向量。高质量地计算 $\hat{\mathbf{x}}(t)$ 对状态控制很重要，因为需要随时了解当前状态值。为简化，考虑无直通矩阵的严格适定系统，其系统描述为：
$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$
$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t)$
(4 - 86)

1.1 线性观测器结构

有两种简单方案不可行：
- 尝试求解 (4 - 86) 中的第二个方程得到 $\mathbf{x}(t)$ 并作为观测值：$\hat{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{C}^{-1} \mathbf{y}(t)$ (4 - 87)，但通常状态数大于输出数，矩阵 $\mathbf{C}$ 非方阵，无法求逆。
- 使用状态微分方程的解并代入已知输入向量 $\mathbf{u}(t)$ 来计算 $\mathbf{x}(t)$ 的观测值，此方案未考虑通常未知的真实系统初始状态 $\mathbf{x}_0$，且由于矩阵 $\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{C}$ 的真实值存在不确定性，可能会产生越来越大的误差。

更好的解决方案是结合上述两种方法：一方面，已知 $\mathbf{u}(t)$ 并对 $\mathbf{