41、大规模动态经济模型的数值方法解读

大规模动态经济模型的数值方法解读

1. 积分方法概述

在大规模动态经济模型的求解中，积分方法起着关键作用。下面将介绍几种常见的积分方法及其特点。

1.1 单项式规则

单项式积分规则是非乘积型的，它在多维超立方体中以某种方式分布相对较少的节点。其计算成本随问题维度的增长仅呈多项式增长，因此适用于高维问题。

1.1.1 单项式规则 M1（2N 个节点）

M1 规则定义如下：
[E [G (ϵ)] \approx \frac{1}{2N} \sum_{h=1}^{N} \left( G \left( R\iota_h \right) + G \left( -R\iota_h \right) \right)]
其中，(\epsilon \sim N (0_N, I_N))，(R \equiv \sqrt{N})，(\iota_h \in R^N) 是一个向量，其第 (h) 个元素为 1，其余元素为 0。

以二维情况为例，设 (\epsilon_h \sim N (0, 1))，(h = 1, 2) 为不相关的正态分布变量，M1 规则有四个节点，具体如下表所示：
| value\node | j = 1 | j = 2 | j = 3 | j = 4 |
| — | — | — | — | — |
| (\epsilon_1^j) | (\sqrt{2}) | (-\sqrt{2}) | 0 | 0 |
| (\epsilon_2^j) | 0 | 0 | (\sqrt{2}) | (-\sqrt{2}) |
| (\omega_j) | 1/4 | 1