38、大规模动态经济模型的数值方法：非乘积逼近与 Smolyak 稀疏网格法

大规模动态经济模型的数值方法：非乘积逼近与 Smolyak 稀疏网格法

在处理大规模动态经济模型时，数值方法的选择至关重要。特别是在处理高维问题时，“维数灾难”常常会使得计算变得极为复杂甚至不可行。本文将介绍非乘积逼近方法，以及其中的 Smolyak 稀疏网格法，帮助大家理解如何在高维问题中有效地进行函数逼近和插值。

1. 非乘积逼近方法概述

在解决函数逼近问题时，我们常常会遇到“维数灾难”，即随着问题维度的增加，计算复杂度呈指数级增长。非乘积逼近方法可以在一定程度上缓解这个问题。

考虑一个典型的逼近问题，设 $f: R^d \to R$ 是一个光滑函数，$\tilde{f}(\cdot; b)$ 是一个参数化函数，形式如下：
[
\tilde{f}(x; b) = \sum_{i=1}^{I} b_i \varphi_i(x)
]
其中，$\varphi_i: R^d \to R$ 是基函数，$b \equiv (b_1, \ldots, b_I)$ 是参数向量。我们的目标是找到合适的 $b$，使得 $\tilde{f}(\cdot; b)$ 在给定的 $R^d$ 区域内近似于 $f$。

为了实现这个目标，我们需要完成以下三个步骤：
1. 基函数的构造 ：构建用于逼近的基函数 ${\varphi_1, \ldots, \varphi_I}$。
2. 网格点的选择 ：在给定的 $R^d$ 区域内选择 $M \geq I$ 个网格点 ${x_1, \ldots, x_M}$。
3. 参数向量的确定 <