24、具有提前行权特征的衍生品计算方法

具有提前行权特征的衍生品计算方法

1. 总体介绍

美式期权定价问题在期权定价文献中已得到深入研究。在这个领域的大量文献中，提出了一系列的方法，但本文无法对所有方法进行全面综述，而是聚焦于作者及其同事认为最有用的方法。

为了更贴合市场实际，因为标的资产回报不能仅用布朗运动很好地建模，所以需要考虑随机波动率和跳跃 - 扩散动态，这些是最广泛用于捕捉这些影响的过程。近年来，对 Lévy 过程的应用也有大量研究。

本文将探讨积分变换方法（在高维情况下仅适用于特定相关结构）和偏微分方程方法。对于偏微分方程方法，将提出多种有限差分方法，如投影逐次超松弛法（PSOR），在高离散化水平下可得到基准解，用于与其他方法比较；线法（MOL）适用于低维问题；稀疏网格和算子分裂方法适用于高维问题。

文章结构如下：
- 第 2 节给出美式期权定价问题的表述，先基于几何布朗运动，再考虑允许随机波动率和泊松跳跃动态的标的资产价格。
- 第 3 节介绍积分变换方法，先一维后多维。
- 第 4 节在线法（MOL）用于标的资产受随机波动率和泊松跳跃动态驱动的情况，同时比较 MOL 与算子分裂方法（如分量分裂法和带 PSOR 的有限差分法）的性能。
- 第 5 节总结。

2. 问题表述 - 随机波动率和泊松跳跃动态情况

设 $C(S, v, τ)$ 为美式看涨期权的价格，其中 $S$ 是股票价格，$τ$ 是到期时间，$K$ 是执行价格。标的资产 $S$ 的随机微分方程（SDE）由 Merton（1976）提出的跳跃 - 扩散过程与 Heston（1993）的平方根方差过程共同决定：
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