46、量子谐振子与电磁场的量子化

量子谐振子与电磁场的量子化

1. 相干态

在量子力学中，寻找非厄米湮灭算符的本征态是一个基础且重要的问题。已知 (a|n⟩ = \sqrt{n}|n - 1⟩) ，我们可以求解方程 (a|\psi_{\lambda}⟩ = \lambda|\psi_{\lambda}⟩) 。其归一化的解为：
(|\psi_{\lambda}⟩ = \exp(-\frac{\lambda}{2})\exp[\lambda a^{\dagger}]|0⟩ = \exp(-\frac{\lambda}{2})\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(\lambda a^{\dagger})^n}{n!}|0⟩)
进一步，让产生算符作用后可得：
(|\psi_{\lambda}⟩ = \exp(-\frac{\lambda}{2})\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{\sqrt{n!}}|n⟩)
这里的 (\psi_{\lambda}) 被称为相干态，它具有许多有趣的性质和应用。从场的角度来看，(|\psi_{\lambda}⟩) 代表着一个粒子场，当移除一个粒子时，场的强度会降低，但场的其他性质保持不变。

若将湮灭算符 (a) 替换为 (s = a + \lambda) （其中 (\lambda) 是一个 (c) - 数，即不是算符），会有 (s + s^{\dagger} = \sqrt{2}(q + \frac{\lambda + \lambda^{ }}{\sqrt{2}})) ，这意味着原点发生了移动。并且，由于 ([s, s^{\dagger}]_{-} = 1) ，新算符与旧算符是正则等价的。正则共轭哈密顿量为：