2、电磁场量子化与相关物理概念解析

电磁场量子化与相关物理概念解析

1. 模式函数与模式算子

在研究电磁场的模式函数 (u(k; r, t)) 和 (u^ (k; r, t)) 以及模式算子 (\hat{a} \lambda(k)) 和 (\hat{a} \lambda^\dagger(k)) 时，首先需要定义一个标量积，即“与时间无关的标量积”：
[
(\varphi, \psi) \equiv i \int dr \varphi^ \stackrel{\leftrightarrow}{\partial_t} \psi = i \int dr [\varphi^ (\partial_t \psi) - (\partial_t \varphi^ ) \psi]
]
从这个标量积的一般结构可以得出：
[
(\varphi, \psi)^ = (\psi, \varphi)
]
[
(\varphi^ , \psi^*) = -(\psi, \varphi)
]
这个标量积源于场的连续性方程，因此与时间无关。

考虑一个函数 (f(r, t)) 是不同模式函数的叠加：
[
f = \int dk [\alpha(k)u(k) + \beta(k)u^ (k)]
]
利用标量积定义的模式函数的正交性，可以得到系数 (\alpha(k)) 和 (\beta(k)) 的表达式：
[
\alpha(k) = (u(k), f)
]
[
\beta(k) =