7、一维量子力学中的束缚态：无限深方势阱与谐振子

一维量子力学中的束缚态：无限深方势阱与谐振子

1. 无限深方势阱中能量差与参数的关系

在一维量子力学的无限深方势阱问题中，能量差 $\Delta E$ 与量子数 $n$ 的具体依赖关系并非关键，我们更关注 $\Delta E$ 与势阱参数以及粒子性质的关联，特别是粒子质量 $m$ 和势阱尺寸 $L$。从相关公式可知，能量与 $m$ 和 $L^2$ 成反比。这意味着，粒子质量越轻，能级间距越大；势阱越窄，能级间距也越大。

我们可以将势阱作为原子或原子核的粗略模型，并使用原子单位来估算能量。例如，模拟原子并估算 $n = 2$ 和 $n = 1$ 态之间的能量差时，取 $m = 1$，$L = 8$（$n = 2$ 态的原子直径），对于 $n = 1$ 有：
$\Delta E = \frac{\pi^2}{2 \cdot 64} (5) \approx 0.39 \approx 10.5$ eV
氢原子 $n = 2$ 和 $n = 1$ 态的实际能量差为 $10.4$ eV，不过这种近似相符只是巧合。重要的是，我们估算的 $\Delta E$ 数量级是正确的，约为 eV，这与原子能级差的数量级一致。

另一方面，如果将受限粒子的质量增加约 2000 倍，使其与核子质量相当，同时将势阱尺寸缩小约 $10^5$ 倍，使其与原子核大小相近，那么能级间距会增加约 $10^7$ 倍。此时 $\Delta E \approx 10$ MeV，与典型原子核的能级间距相当。

2. 谐振子问题

虽然在简单的粒子在盒子中的问题里能学到很多量子物理知识，但该问题的某些特征可能会产生误导。这是因为刚性壁和盒子内零势能导致盒子内本征函数的德布罗