45、量子谐振子：从坐标表示到数表象的深入解析

量子谐振子：从坐标表示到数表象的深入解析

量子谐振子是量子物理中的一个核心概念，它不仅是一个基础的一维示例，更是通用理论的重要组成部分。下面我们将深入探讨量子谐振子的相关知识，包括其哈密顿量、薛定谔方程的求解，以及数表象的引入和应用。

量子谐振子的哈密顿量与特征尺度

在坐标表象中，量子谐振子的哈密顿量可以表示为：
[
\hat{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2
]
通过正则变换，它可以简化为更简单的形式：
[
\tilde{H} = A\omega
]
其中 (A) 是振荡的振幅。在经典力学中，振荡的振幅是任意的，但在量子力学中，存在一个自然的能量尺度 (E \sim \hbar\omega)。通过设定 (m\omega^2x_0^2 \sim \hbar\omega)，我们可以得到一个特征长度：
[
x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}
]

从坐标表示到二次量子化算符

从哈密顿量出发，我们可以得到定态的薛定谔方程：
[
\frac{d^2}{dx^2}\psi = \frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}x^2\psi - \frac{2mE}{\hbar^2}\psi
]
引入特征长度 (x_0) 和无量纲长度 (q = \frac{x}{x_0}) 后，薛定谔方程可以简化为：
[
\frac{d^2\psi}{dq^2} = (q^2 - 2\epsilon)\psi
]